4. ($\star$)如图24-3,点$A$,$B$,$S$在圆上,若弦$AB的长度等于圆半径的\sqrt{2}$倍,则$\angle ASB$的度数是【】

A.$22.5^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

C

设圆心为O，连接OA、OB。因为AB的长度等于圆半径的√2倍，设半径OA=OB=r，则AB=√2 r。在△AOB中，OA²+OB²=r²+r²=2r²=AB²，所以△AOB是直角三角形，∠AOB=90°。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠ASB=1/2∠AOB=45°。

5. ($\star$)如图24-4,四边形$ABCD内接于\odot O$,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AD}$,$\angle C = 70^{\circ}$,则$\angle ABD$的度数为。
]

35°

∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠C=180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠C=70°，
∴∠BAD=180°-70°=110°。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
∴AB=AD（等弧对等弦），
∴△ABD为等腰三角形，∠ABD=∠ADB。
在△ABD中，∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，又∠ABD=∠ADB，∠BAD=110°，
∴∠ABD=$\frac{180°-110°}{2}=35°$。

6. ($\star$)(2023·昌邑)如图24-5,$AB是\odot O$的直径,$C$,$D是\odot O$上的两点,若$\angle CDB = 42^{\circ}$,则$\angle ABC$的度数是【】

A.$48^{\circ}$
B.$42^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$43^{\circ}$

A

连接$AC$，
由于$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
由于$\angle CDB$和$\angle CAB$都对$\overset{\frown}{BC}$ ，根据同圆中，同弧所对的圆周角相等，所以$\angle CAB = \angle CDB = 42^{\circ}$。
在直角三角形$ABC$中，利用直角三角形两锐角互余，有$\angle ABC = 90^{\circ} - \angle CAB = 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ}$。

7. ($\star\star$)如图24-6,$AD为\triangle ABC$外接圆的直径,$AD\perp BC$,垂足为点$F$,$\angle ABC的平分线交AD于点E$,连接$BD$,$CD$。
(1)求证：$BD = CD$。
(2)请判断：$B$,$E$,$C三点是否在以点D$为圆心,$DB$为半径的圆上？若在,请用圆规作出这个圆,并说明理由；若不在,请说明不在的理由。(若作图,请保留作图痕迹)
]

(1)证明：∵AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得AD平分弧BC，即弧BD=弧CD，
∴BD=CD（等弧所对的弦相等）。
(2)在。
理由：∵AD是直径，∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵BE平分∠ABC，设∠ABE=∠CBE=α。
∵AD⊥BC，∴∠AFB=90°，设∠BAF=β，则∠ABC=2α=90°-β。
∵弧BD=弧CD（已证），∴∠CAD=∠BAF=β（等弧所对的圆周角相等）。
∵∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DBC=∠CAD=β（同弧CD所对的圆周角），∠CBE=α，∴∠DBE=β+α。
∵∠BED=∠BAE+∠ABE=β+α（三角形外角性质），∴∠BED=∠DBE，
∴DE=DB（等角对等边）。
又∵BD=CD（已证），∴DB=DE=DC，
∴B、E、C三点到D的距离均为DB，故三点在以D为圆心，DB为半径的圆上。

(1)证明：
∵AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，
∴弧BD=弧CD，
∴BD=CD。
(2)解：B，E，C三点在以点D为圆心，DB为半径的圆上。
作图：以D为圆心，DB长为半径画圆，交AD于点E，交BC于点B，C。
理由：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE。
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°。
∵AD⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，∠DBF+∠BDF=90°。
∵∠BAF=∠BDF（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ABF=∠DBF。
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠DBE=∠CBE+∠DBF=∠ABE+∠ABF=∠EBF+∠ABF=∠ABE+∠ABF=∠DBE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE。
∵BD=CD，
∴DB=DE=DC，
∴B，E，C三点在以点D为圆心，DB为半径的圆上。

8. ($\star$)在$\odot O$中,若弦$BC垂直平分半径OA$,则弦$BC$所对的圆周角的度数为。

60°或120°

设OA中点为M，连接OB、OC，OA=r，则OM= r/2。
∵BC垂直平分OA，∴OM⊥BC，OM= r/2，OB=OC=r。
在Rt△OMB中，cos∠BOM=OM/OB= (r/2)/r=1/2，∴∠BOM=60°。
同理∠COM=60°，故∠BOC=∠BOM+∠COM=120°。
弦BC所对的圆周角有两种：
劣弧BC所对圆周角：120°/2=60°；
优弧BC所对圆周角：(360°-120°)/2=120°。

9. ($\star$)将半径为$5的\odot O$按如图24-7所示折叠,折痕$AB的长为6$,$C为折叠后\overset{\frown}{AB}$的中点,则$OC$的长为。
]

3

过O作AB垂线，垂足为M，由垂径定理得AM=3。在Rt△OAM中，OA=5，AM=3，故OM=√(5²-3²)=4。折叠后，O关于AB对称点为O'，则O'M=OM=4，OO'=8。O'为折叠后弧AB所在圆的圆心，O'C=5（半径）。因C在AB垂直平分线上，故O'、M、C共线，MC=O'C-O'M=5-4=1。又OM=4，故OC=OM-MC=4-1=3。

10. ($\star\star$)如图24-8,矩形$ABCD与圆心在AB上的\odot O交于点G$,$B$,$F$,$E$,$GB = 8\mathrm{cm}$,$AG = 1\mathrm{cm}$,$DE = 2\mathrm{cm}$,则$EF = $$\mathrm{cm}$。

6

设矩形ABCD中，A(0,h),B(9,h),C(9,0),D(0,0)，AB为上底，CD为下底。圆心O在AB上，圆过G(1,h)、B(9,h)，则OG=OB=半径r。由AG=1,GB=8得AB=9，圆心O坐标(5,h)，r=4。过O作CD垂线，垂足M(5,0)为EF中点，设EF=2d，OM=h。由垂径定理，h²+d²=4²。DE=2，D(0,0)，DM=5，EM=DM-DE=3，即d=3，故EF=2d=6。