16. 已知数轴上 A,B 两点表示的数分别为-1,3,P 为数轴上一动点,其表示的数为 $ x $.
(1) 数轴上是否存在点 P,使点 P 到点 A 的距离等于点 P 到点 B 的距离的 2 倍? 若存在,请求出 $ x $ 的值;若不存在,请说明理由.
(2) 现在点 A,B 分别以 2 个单位长度/秒和 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动,点 P 以 6 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动. 当点 A 与点 B 之间的距离为 3 个单位长度时,求点 P 表示的数.
(1) 数轴上是否存在点 P,使点 P 到点 A 的距离等于点 P 到点 B 的距离的 2 倍? 若存在,请求出 $ x $ 的值;若不存在,请说明理由.
(2) 现在点 A,B 分别以 2 个单位长度/秒和 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动,点 P 以 6 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动. 当点 A 与点 B 之间的距离为 3 个单位长度时,求点 P 表示的数.
答案
(1) 存在 根据题意，得点 $ P $ 到点 $ A $ 的距离为 $ | - 1 - x | $，点 $ P $ 到点 $ B $ 的距离为 $ | x - 3 | $。假设存在点 $ P $ 到点 $ A $ 的距离等于点 $ P $ 到点 $ B $ 的距离的 2 倍，则 $ | - 1 - x | = 2 | x - 3 | $，即 $ - 1 - x = 2(x - 3) $ 或 $ - 1 - x = - 2(x - 3) $，解得 $ x = \frac{5}{3} $ 或 7，因此假设成立，$ x $ 的值为 $ \frac{5}{3} $ 或 7 (2) ① 当点 $ A $ 在点 $ B $ 的左边，两点相距 3 个单位长度时，设此时运动的时间为 $ t $ 秒。根据题意，得 $ (3 + 0.5t) - (-1 + 2t) = 3 $。解这个方程，得 $ t = \frac{2}{3} $，此时点 $ P $ 表示的数为 $ - 6 \times \frac{2}{3} = - 4 $。② 当点 $ A $ 在点 $ B $ 的右边，两点相距 3 个单位长度时，设此时运动的时间为 $ m $ 秒。根据题意，得 $ (-1 + 2m) - (3 + 0.5m) = 3 $。解这个方程，得 $ m = \frac{14}{3} $，此时点 $ P $ 表示的数为 $ - 6 \times \frac{14}{3} = - 28 $。综上所述，当点 $ A $ 与点 $ B $ 之间的距离为 3 个单位长度时，点 $ P $ 表示的数为 $ - 4 $ 或 $ - 28 $
17. (2024·苏州)某条城际铁路线共有 A,B,C 三个车站,每日上午均有两班次列车从 A 站驶往 C 站,其中 D1001 次列车从 A 站始发,经停 B 站后到达 C 站,G1002 次列车从 A 站始发,直达 C 站,两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究,收集到列车运行信息如下表所示.
|车次|A站|B站|C站|
|----|----|----|----|
| |发车时刻|到站时刻|发车时刻|到站时刻|
|D1001|8:00|9:30|9:50|10:50|
|G1002|8:25|途经B站,不停车| |10:30|
请根据表格中的信息,解答问题:
(1) D1001 次列车从 A 站到 B 站行驶了______分钟,从 B 站到 C 站行驶了______分钟.
(2) 记 D1001 次列车的行驶速度为 $ v _ { 1 } $ 千米/分,离 A 站的路程为 $ d _ { 1 } $ 千米;G1002 次列车的行驶速度为 $ v _ { 2 } $ 千米/分,离 A 站的路程为 $ d _ { 2 } $ 千米.
① $ \frac { v _ { 1 } } { v _ { 2 } } = $______;
② 从上午 8:00 开始计时,时长记为 $ t $ 分钟(如:上午 9:15,则 $ t = 75 $),已知 $ v _ { 1 } = 4 $,在 G1002 次列车的行驶过程中 $ ( 25 \leq t \leq 150 ) $,若 $ | d _ { 1 } - d _ { 2 } | = 60 $,求 $ t $ 的值.
|车次|A站|B站|C站|
|----|----|----|----|
| |发车时刻|到站时刻|发车时刻|到站时刻|
|D1001|8:00|9:30|9:50|10:50|
|G1002|8:25|途经B站,不停车| |10:30|
请根据表格中的信息,解答问题:
(1) D1001 次列车从 A 站到 B 站行驶了______分钟,从 B 站到 C 站行驶了______分钟.
(2) 记 D1001 次列车的行驶速度为 $ v _ { 1 } $ 千米/分,离 A 站的路程为 $ d _ { 1 } $ 千米;G1002 次列车的行驶速度为 $ v _ { 2 } $ 千米/分,离 A 站的路程为 $ d _ { 2 } $ 千米.
① $ \frac { v _ { 1 } } { v _ { 2 } } = $______;
② 从上午 8:00 开始计时,时长记为 $ t $ 分钟(如:上午 9:15,则 $ t = 75 $),已知 $ v _ { 1 } = 4 $,在 G1002 次列车的行驶过程中 $ ( 25 \leq t \leq 150 ) $,若 $ | d _ { 1 } - d _ { 2 } | = 60 $,求 $ t $ 的值.
答案
(1) 90 60
(2) ① $ \frac{5}{6} $ 解析：根据题意，得 D1001 次列车从 A 站到 C 站共需 $ 90 + 60 = 150 $（分钟），G1002 次列车从 A 站到 C 站共需 $ 35 + 60 + 30 = 125 $（分钟），所以 $ 150v_1 = 125v_2 $。所以 $ \frac{v_1}{v_2} = \frac{5}{6} $。
② 因为 $ v_1 = 4 $，$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{5}{6} $，所以 $ v_2 = 4.8 $。因为 $ 4 \times 90 = 360 $（千米），所以 A 站与 B 站之间的路程为 360 千米。因为 $ 360 \div 4.8 = 75 $（分钟），所以当 $ t = 100 $ 时，G1002 次列车经过 B 站。由题意可知，当 $ 90 \leq t \leq 110 $ 时，D1001 次列车在 B 站停车，所以 G1002 次列车经过 B 站时，D1001 次列车正在 B 站停车。情况 1：当 $ 25 \leq t ＜ 90 $ 时，$ d_1 ＞ d_2 $，所以 $ | d_1 - d_2 | = d_1 - d_2 $，由 $ 4t - 4.8(t - 25) = 60 $，解得 $ t = 75 $；情况 2：当 $ 90 \leq t \leq 100 $ 时，$ d_1 \geq d_2 $，所以 $ | d_1 - d_2 | = d_1 - d_2 $，由 $ 360 - 4.8(t - 25) = 60 $，解得 $ t = 87.5 $，不合题意，舍去；情况 3：当 $ 100 ＜ t \leq 110 $ 时，$ d_1 ＜ d_2 $，所以 $ | d_1 - d_2 | = d_2 - d_1 $，由 $ 4.8(t - 25) - 360 = 60 $，解得 $ t = 112.5 $，不合题意，舍去；情况 4：当 $ 110 ＜ t \leq 150 $ 时，$ d_1 ＜ d_2 $，所以 $ | d_1 - d_2 | = d_2 - d_1 $，由 $ 4.8(t - 25) - [360 + 4(t - 110)] = 60 $，解得 $ t = 125 $。综上所述，当 $ t = 75 $ 或 125 时，$ | d_1 - d_2 | = 60 $
(2) ① $ \frac{5}{6} $ 解析：根据题意，得 D1001 次列车从 A 站到 C 站共需 $ 90 + 60 = 150 $（分钟），G1002 次列车从 A 站到 C 站共需 $ 35 + 60 + 30 = 125 $（分钟），所以 $ 150v_1 = 125v_2 $。所以 $ \frac{v_1}{v_2} = \frac{5}{6} $。
② 因为 $ v_1 = 4 $，$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{5}{6} $，所以 $ v_2 = 4.8 $。因为 $ 4 \times 90 = 360 $（千米），所以 A 站与 B 站之间的路程为 360 千米。因为 $ 360 \div 4.8 = 75 $（分钟），所以当 $ t = 100 $ 时，G1002 次列车经过 B 站。由题意可知，当 $ 90 \leq t \leq 110 $ 时，D1001 次列车在 B 站停车，所以 G1002 次列车经过 B 站时，D1001 次列车正在 B 站停车。情况 1：当 $ 25 \leq t ＜ 90 $ 时，$ d_1 ＞ d_2 $，所以 $ | d_1 - d_2 | = d_1 - d_2 $，由 $ 4t - 4.8(t - 25) = 60 $，解得 $ t = 75 $；情况 2：当 $ 90 \leq t \leq 100 $ 时，$ d_1 \geq d_2 $，所以 $ | d_1 - d_2 | = d_1 - d_2 $，由 $ 360 - 4.8(t - 25) = 60 $，解得 $ t = 87.5 $，不合题意，舍去；情况 3：当 $ 100 ＜ t \leq 110 $ 时，$ d_1 ＜ d_2 $，所以 $ | d_1 - d_2 | = d_2 - d_1 $，由 $ 4.8(t - 25) - 360 = 60 $，解得 $ t = 112.5 $，不合题意，舍去；情况 4：当 $ 110 ＜ t \leq 150 $ 时，$ d_1 ＜ d_2 $，所以 $ | d_1 - d_2 | = d_2 - d_1 $，由 $ 4.8(t - 25) - [360 + 4(t - 110)] = 60 $，解得 $ t = 125 $。综上所述，当 $ t = 75 $ 或 125 时，$ | d_1 - d_2 | = 60 $
