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1. (2024·苏州工业园区期中)已知$\odot O$的半径为4,平面内有一点M.若$OM=5$,则点M与$\odot O$的位置关系是 ()
A.在圆内
B.在圆上
C.在圆外
D.不能确定
A.在圆内
B.在圆上
C.在圆外
D.不能确定
答案
C
解析
已知圆O的半径为4，点M到圆心O的距离为OM=5。
根据点和圆的位置关系：
若OM ＜ 半径，则点在圆内；
若OM = 半径，则点在圆上；
若OM ＞ 半径，则点在圆外。
由于5 ＞ 4，故点M在圆外。
根据点和圆的位置关系：
若OM ＜ 半径，则点在圆内；
若OM = 半径，则点在圆上；
若OM ＞ 半径，则点在圆外。
由于5 ＞ 4，故点M在圆外。
2. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },AB=5,BC=4$.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在$\odot A$内且点B在$\odot A$外时,r的值可能是 ()
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
C
解析
已知$\angle ACB=90^{\circ}$，$AB=5$，$BC=4$，根据勾股定理，可以求出$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
以点$A$为圆心，$r$为半径作圆，
当点$C$在圆内时，$r＞AC=3$，
当点$B$在圆外时，$r＜AB=5$，
所以$r$的取值范围为$3＜r＜5$，
在选项中，只有$r=4$满足这个条件。
$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
以点$A$为圆心，$r$为半径作圆，
当点$C$在圆内时，$r＞AC=3$，
当点$B$在圆外时，$r＜AB=5$，
所以$r$的取值范围为$3＜r＜5$，
在选项中，只有$r=4$满足这个条件。
3. 已知$\odot O$的半径为7 cm.若线段OA的长为12 cm,则OA的中点P在$\odot O$.
答案
内
解析
因为OA=12cm，P是OA的中点，所以OP=OA/2=6cm。又因为⊙O的半径为7cm，6cm＜7cm，所以点P在⊙O内。
4. 已知正方形ABCD的边长为2 cm,以点A为圆心,2 cm为半径作$\odot A$,则点B在$\odot A$,点C在$\odot A$,点D在$\odot A$.
答案
上、外、上
解析
已知正方形ABCD边长为2cm，以点A为圆心，2cm为半径作⊙A。
根据正方形性质$AB = 2cm$，$AD = 2cm$，$AC=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}cm$。
点B到圆心A的距离$d = AB = 2cm$，与半径$r = 2cm$相等，所以点B在⊙A上。
点C到圆心A的距离$d = AC = 2\sqrt{2}cm\gt2cm$，即$d\gt r$，所以点C在⊙A外。
点D到圆心A的距离$d = AD = 2cm$，与半径$r = 2cm$相等，所以点D在⊙A上。
根据正方形性质$AB = 2cm$，$AD = 2cm$，$AC=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}cm$。
点B到圆心A的距离$d = AB = 2cm$，与半径$r = 2cm$相等，所以点B在⊙A上。
点C到圆心A的距离$d = AC = 2\sqrt{2}cm\gt2cm$，即$d\gt r$，所以点C在⊙A外。
点D到圆心A的距离$d = AD = 2cm$，与半径$r = 2cm$相等，所以点D在⊙A上。
5. 如图,线段AB的长为3 cm.请按下列要求作图:
(1)到点A的距离等于1 cm的点的集合;
(2)到点B的距离等于2 cm的点的集合;
(3)到点A的距离等于1 cm,且到点B的距离等于2 cm的点.
(1)到点A的距离等于1 cm的点的集合;
(2)到点B的距离等于2 cm的点的集合;
(3)到点A的距离等于1 cm,且到点B的距离等于2 cm的点.
答案
解：$(1)$如图所示，$\odot A$即为所求作的图形
$(2)$如图所示，$\odot B$即为所求作的图形
$(3)$如图所示，点$P$即为所求作的图形
6. 如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(网格线的交点称为格点).若以点A为圆心,r为半径作圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围是 ()
A.$2\sqrt{2}＜r＜\sqrt{17}$
B.$\sqrt{17}＜r\leqslant 3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{17}＜r＜5$
D.$5＜r＜\sqrt{29}$
A.$2\sqrt{2}＜r＜\sqrt{17}$
B.$\sqrt{17}＜r\leqslant 3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{17}＜r＜5$
D.$5＜r＜\sqrt{29}$
答案
C
解析
以点A为坐标原点建立坐标系，设选取的9个格点中除A外的8个格点坐标分别为$(x_i,y_i)$。计算各点到A的距离$d_i=\sqrt{x_i^2+y_i^2}$，并排序得：$d_1＜d_2＜d_3＜d_4＜\cdots＜d_8$。
由题意“恰好有3个格点在圆内”，即距离小于$r$的点有3个，故$r$需大于第3个点的距离且小于第4个点的距离。
经计算，8个格点到A的距离中，前3个距离小于$\sqrt{17}$，第4个距离为5。因此$r$的范围为$\sqrt{17}＜r＜5$。
由题意“恰好有3个格点在圆内”，即距离小于$r$的点有3个，故$r$需大于第3个点的距离且小于第4个点的距离。
经计算，8个格点到A的距离中，前3个距离小于$\sqrt{17}$，第4个距离为5。因此$r$的范围为$\sqrt{17}＜r＜5$。
