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12. 如图,BD是菱形ABCD的对角线,点E,F分别在边CD,DA上,且$CE= AF$.求证：$BE= BF$.
证明:∵四边形ABCD是菱形，∴
证明:∵四边形ABCD是菱形，∴
AB = BC
，∠A = ∠C
. 在△ABF和△CBE中，∵$\begin{cases} AF = CE, \\ ∠A = ∠C, \\ AB = CB, \end{cases}$ ∴△ABF ≌ △CBE(SAS)
. ∴BE = BF.答案
证明:∵四边形ABCD是菱形，∴AB = BC，∠A = ∠C. 在△ABF和△CBE中，∵$\begin{cases} AF = CE, \\ ∠A = ∠C, \\ AB = CB, \end{cases}$ ∴△ABF ≌ △CBE(SAS). ∴BE = BF.
13. 如图,将$△ABC$沿BC方向平移得到$△DCE$,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(
A.$AB= BC$
B.$AC= BC$
C.$∠B= 60^{\circ }$
D.$∠ACB= 60^{\circ }$
A
)A.$AB= BC$
B.$AC= BC$
C.$∠B= 60^{\circ }$
D.$∠ACB= 60^{\circ }$
答案
A
14. 如图,AD是$△ABC$的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判定$□ ADCE$是菱形的是(
A.$∠BAC= 90^{\circ }$
B.$∠DAE= 90^{\circ }$
C.$AB= AC$
D.$AB= AE$
A
)A.$∠BAC= 90^{\circ }$
B.$∠DAE= 90^{\circ }$
C.$AB= AC$
D.$AB= AE$
答案
A
15. 【开放题】如图,$□ ABCD$的对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件：
AD=DC(答案不唯一)
,使得$□ ABCD$为菱形.答案
AD=DC(答案不唯一)
16. 【开放题】如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是
CB=BF(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
CB=BF(答案不唯一)
17. 如图,$AE// BF$,BD平分$∠ABC$交AE于点D,点C在BF上且$BC= AB$,连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.
答案
证明:∵AE//BF,∴∠ADB=∠DBC.∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD.∴∠ADB=∠ABD.∴AB=AD.∵AB=BC,∴AD=BC;∵AE//BF,即AD//BC,∴四边形ABCD为平行四边形.∵AB=AD,∴四边形ABCD为菱形.
18. 如图,在$□ ABCD$中,E为BC边上的一点,连接AE,BD,且$AE= AB$.
(1)求证：$∠ABE= ∠EAD$；
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴
(2)若$∠AEB= 2∠ADB$,求证：四边形ABCD是菱形.
证明:∵AD//BC,∴
(1)求证：$∠ABE= ∠EAD$；
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴
AD//BC
.∴∠AEB=∠EAD
.∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB
.∴∠ABE=∠EAD.(2)若$∠AEB= 2∠ADB$,求证：四边形ABCD是菱形.
证明:∵AD//BC,∴
∠ADB=∠DBE
.∵∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB,∴∠ABE=2∠ADB
.∴∠ABD=∠ABE - ∠DBE = 2∠ADB - ∠ADB = ∠ADB
.∴AB=AD
.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形.答案
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC.∴∠AEB=∠EAD.∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB.∴∠ABE=∠EAD. (2)∵AD//BC,∴∠ADB=∠DBE.∵∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB,∴∠ABE=2∠ADB.∴∠ABD=∠ABE - ∠DBE = 2∠ADB - ∠ADB = ∠ADB.∴AB=AD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形.
