7. (2023·茂名)综合与实践
主题：制作无盖正方体纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图①,将正方形纸板的边长三等分,画出九个相同的小正方形,并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②,把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.
猜想与证明：(1)直接写出纸板上$∠ABC与纸盒上∠A_{1}B_{1}C_{1}$的大小关系；
(2)证明(1)中你发现的结论.

(1)$ \angle ABC = \angle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $．
(2)证明：∵ $ A _ { 1 } B _ { 1 } $为正方形的对角线，
∴ $ \angle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } = 45 ^ { \circ } $．
如图，连接$ AC $．设每个方格的边长为$ 1 $，
则 $ AB = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = \sqrt { 10 } $，
$ AC = BC = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = \sqrt { 5 } $．
∵ $ AC ^ { 2 } + BC ^ { 2 } = AB ^ { 2 } $，
∴由勾股定理的逆定理得$ \triangle ABC $是等腰直角三角形，
∴ $ \angle ABC = 45 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle ABC = \angle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $．

8. 如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= BC$,点$P在斜边AB$上,以$PC为直角边作等腰Rt△PCQ$,$∠PCQ= 90^{\circ }$. 求证：$PB^{2}+AP^{2}= 2CP^{2}$.

如图，连接$ BQ $．∵ $ \angle ACB = 90 ^ { \circ } $，$ AC = BC $，
∴ $ \angle CAB = \angle CBA = 45 ^ { \circ } $．
∵ $ \triangle PCQ $是等腰直角三角形，
∴ $ CP = CQ $，$ \angle PCQ = 90 ^ { \circ } = \angle ACB $，
∴ $ \angle ACP = \angle BCQ $．
又∵ $ AC = BC $，$ CP = CQ $，
∴ $ \triangle ACP \cong \triangle BCQ ( \mathrm { SAS } ) $，
∴ $ AP = BQ $，$ \angle CAP = \angle CBQ = 45 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle ABQ = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ PB ^ { 2 } + BQ ^ { 2 } = PQ ^ { 2 } $，即 $ PB ^ { 2 } + AP ^ { 2 } = 2CP ^ { 2 } $．