登录
1. 填空
(1) 一个长方体的长、宽、高分别是 $7dm$，$6dm$，$5dm$，那么这个长方体的占地面积最大是($\quad$)$dm^{2}$，体积是($\quad$)$dm^{3}$。
(2) 一个正方体的棱长扩大 $2$ 倍，它的表面积就扩大($\quad$)倍，体积就扩大($\quad$)倍。
(3) 把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形。这个圆柱的底面周长是 $10$ 厘米，高是($\quad$)，侧面积是($\quad$)。
(4) 等底等高的圆柱和圆锥，已知圆柱的体积比圆锥多 $8$ 立方分米，则圆柱的体积是($\quad$)，圆锥的体积是($\quad$)。
(1) 一个长方体的长、宽、高分别是 $7dm$，$6dm$，$5dm$，那么这个长方体的占地面积最大是($\quad$)$dm^{2}$，体积是($\quad$)$dm^{3}$。
(2) 一个正方体的棱长扩大 $2$ 倍，它的表面积就扩大($\quad$)倍，体积就扩大($\quad$)倍。
(3) 把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形。这个圆柱的底面周长是 $10$ 厘米，高是($\quad$)，侧面积是($\quad$)。
(4) 等底等高的圆柱和圆锥，已知圆柱的体积比圆锥多 $8$ 立方分米，则圆柱的体积是($\quad$)，圆锥的体积是($\quad$)。
答案
(1)$42$，$210$；(2)$4$，$8$；(3)$10$厘米，$100$平方厘米；(4)$12$立方分米，$4$立方分米。
解析
(1)
占地面积最大则为长和宽所在面或长和高所在面或宽和高所在面中面积最大者，$(7×6 = 42dm^{2})$，$(7×5 = 35dm^{2})$，$(6×5 = 30dm^{2})$，比较可得最大为$42dm^{2}$；
体积$V = 7×6×5=210dm^{3}$。
(2)
设原正方体棱长为$a$，原表面积$S_1 = 6a^{2}$，棱长扩大$2$倍后为$2a$，新表面积$S_2 = 6×(2a)^{2}=24a^{2}$，$\frac{S_2}{S_1}=\frac{24a^{2}}{6a^{2}} = 4$；
原体积$V_1 = a^{3}$，新体积$V_2=(2a)^{3}=8a^{3}$，$\frac{V_2}{V_1}=\frac{8a^{3}}{a^{3}} = 8$。
(3)
圆柱侧面展开是正方形，则高与底面周长相等，所以高是$10$厘米；
侧面积$S = 10×10 = 100$平方厘米。
(4)
设圆锥体积为$V$，因为等底等高圆柱体积是圆锥体积$3$倍，则圆柱体积为$3V$，又$3V - V = 8$，$2V = 8$，$V = 4$立方分米，圆柱体积为$12$立方分米。
占地面积最大则为长和宽所在面或长和高所在面或宽和高所在面中面积最大者，$(7×6 = 42dm^{2})$，$(7×5 = 35dm^{2})$，$(6×5 = 30dm^{2})$，比较可得最大为$42dm^{2}$；
体积$V = 7×6×5=210dm^{3}$。
(2)
设原正方体棱长为$a$，原表面积$S_1 = 6a^{2}$，棱长扩大$2$倍后为$2a$，新表面积$S_2 = 6×(2a)^{2}=24a^{2}$，$\frac{S_2}{S_1}=\frac{24a^{2}}{6a^{2}} = 4$；
原体积$V_1 = a^{3}$，新体积$V_2=(2a)^{3}=8a^{3}$，$\frac{V_2}{V_1}=\frac{8a^{3}}{a^{3}} = 8$。
(3)
圆柱侧面展开是正方形，则高与底面周长相等，所以高是$10$厘米；
侧面积$S = 10×10 = 100$平方厘米。
(4)
设圆锥体积为$V$，因为等底等高圆柱体积是圆锥体积$3$倍，则圆柱体积为$3V$，又$3V - V = 8$，$2V = 8$，$V = 4$立方分米，圆柱体积为$12$立方分米。
2. 自来水管的内直径是 $2$ 厘米，水管内水的流速是每秒 $8$ 厘米。一位同学去水池洗手，走时忘记关掉水龙头，$14$ 分钟浪费了多少升水？
答案
1. 计算水管内半径：$2÷2 = 1$（厘米）
2. 计算水管横截面积：$3.14×1^2 = 3.14$（平方厘米）
3. 计算每秒流水体积：$3.14×8 = 25.12$（立方厘米/秒）
4. 单位换算：14分钟 = 14×60 = 840秒
5. 计算总浪费水体积：$25.12×840 = 21100.8$（立方厘米）
6. 单位换算：21100.8立方厘米 = 21.1008升
结论：21.1008升
2. 计算水管横截面积：$3.14×1^2 = 3.14$（平方厘米）
3. 计算每秒流水体积：$3.14×8 = 25.12$（立方厘米/秒）
4. 单位换算：14分钟 = 14×60 = 840秒
5. 计算总浪费水体积：$25.12×840 = 21100.8$（立方厘米）
6. 单位换算：21100.8立方厘米 = 21.1008升
结论：21.1008升
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以把浪费的水看作连续的圆柱，解题思路如下：
1. 先确定圆柱的底面积：水管的横截面积就是圆柱的底面积，已知水管内直径，先算出半径，再用圆的面积公式求出横截面积；
2. 再计算每秒流出水的体积：水的流速是每秒8厘米，相当于圆柱的高，用底面积×流速就能得到每秒流水的体积；
3. 接着统一时间单位：题目给的时间是14分钟，需要换算成秒，和流速的时间单位匹配；
4. 最后计算总浪费水的体积，再将体积单位从立方厘米换算成升，得到最终结果。
【解析】
1. 计算水管内半径：
$2÷2 = 1$（厘米）
2. 计算水管横截面积（即圆柱底面积）：
$3.14×1^2 = 3.14$（平方厘米）
3. 计算每秒流水体积：
$3.14×8 = 25.12$（立方厘米/秒）
4. 时间单位换算：
$14×60 = 840$（秒）
5. 计算总浪费水体积：
$25.12×840 = 21100.8$（立方厘米）
6. 体积单位换算：
因为1升=1000立方厘米，所以$21100.8÷1000 = 21.1008$（升）
【答案】
21.1008升
【知识点】
圆柱体积计算、单位换算
【点评】
本题属于生活场景的数学应用问题，核心是利用圆柱体积公式解决流水体积问题，重点考查学生对单位换算的掌握和公式的灵活运用，解题时需注意多次统一单位，避免因单位混淆出错。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以把浪费的水看作连续的圆柱，解题思路如下：
1. 先确定圆柱的底面积：水管的横截面积就是圆柱的底面积，已知水管内直径，先算出半径，再用圆的面积公式求出横截面积；
2. 再计算每秒流出水的体积：水的流速是每秒8厘米，相当于圆柱的高，用底面积×流速就能得到每秒流水的体积；
3. 接着统一时间单位：题目给的时间是14分钟，需要换算成秒，和流速的时间单位匹配；
4. 最后计算总浪费水的体积，再将体积单位从立方厘米换算成升，得到最终结果。
【解析】
1. 计算水管内半径：
$2÷2 = 1$（厘米）
2. 计算水管横截面积（即圆柱底面积）：
$3.14×1^2 = 3.14$（平方厘米）
3. 计算每秒流水体积：
$3.14×8 = 25.12$（立方厘米/秒）
4. 时间单位换算：
$14×60 = 840$（秒）
5. 计算总浪费水体积：
$25.12×840 = 21100.8$（立方厘米）
6. 体积单位换算：
因为1升=1000立方厘米，所以$21100.8÷1000 = 21.1008$（升）
【答案】
21.1008升
【知识点】
圆柱体积计算、单位换算
【点评】
本题属于生活场景的数学应用问题，核心是利用圆柱体积公式解决流水体积问题，重点考查学生对单位换算的掌握和公式的灵活运用，解题时需注意多次统一单位，避免因单位混淆出错。
【难度系数】
0.6
3. 一个圆锥形沙堆，底面周长是 $25.12$ 米，高 $3$ 米。$1$ 立方米沙重 $1.5$ 吨，这堆沙重多少吨？
答案
1. 底面半径：25.12÷3.14÷2=4（米）
2. 底面积：3.14×4²=50.24（平方米）
3. 体积：1/3×50.24×3=50.24（立方米）
4. 沙堆重量：50.24×1.5=75.36（吨）
答：这堆沙重75.36吨。
2. 底面积：3.14×4²=50.24（平方米）
3. 体积：1/3×50.24×3=50.24（立方米）
4. 沙堆重量：50.24×1.5=75.36（吨）
答：这堆沙重75.36吨。
解析
【分析】
要计算这堆沙的重量，需先求出圆锥形沙堆的体积，再根据“总重量=体积×每立方米沙的重量”计算。已知圆锥的高，求体积需要先得到底面积；而底面积需要底面半径，已知底面周长，可通过圆的周长公式求出半径，再依次计算底面积、体积，最后算出沙堆重量。具体步骤为：第一步，由底面周长求底面半径；第二步，用半径求底面积；第三步，利用圆锥体积公式计算体积；第四步，用体积乘每立方米沙的重量得到总重量。
【解析】
1. 求底面半径：
根据圆的周长公式$C = 2π r$，可得底面半径$r = C÷(2π)$，代入数据：
$25.12÷3.14÷2 = 4$（米）
2. 求圆锥底面积：
根据圆的面积公式$S = π r^2$，代入半径：
$3.14×4^2 = 3.14×16 = 50.24$（平方米）
3. 求圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V = \frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高），代入数据：
$\frac{1}{3}×50.24×3 = 50.24$（立方米）
4. 求沙堆重量：
总重量 = 体积×每立方米沙的重量，代入数据：
$50.24×1.5 = 75.36$（吨）
答：这堆沙重75.36吨。
【答案】
75.36吨
【知识点】
圆锥体积计算，圆的周长及面积计算
【点评】
本题属于圆锥体积公式的实际应用问题，需要综合运用圆的周长、面积公式以及圆锥体积公式来逐步求解，考查学生对基础几何公式的掌握和实际应用能力，解题关键是理清各量之间的关系，按步骤计算。
【难度系数】
0.7
要计算这堆沙的重量，需先求出圆锥形沙堆的体积，再根据“总重量=体积×每立方米沙的重量”计算。已知圆锥的高，求体积需要先得到底面积；而底面积需要底面半径，已知底面周长，可通过圆的周长公式求出半径，再依次计算底面积、体积，最后算出沙堆重量。具体步骤为：第一步，由底面周长求底面半径；第二步，用半径求底面积；第三步，利用圆锥体积公式计算体积；第四步，用体积乘每立方米沙的重量得到总重量。
【解析】
1. 求底面半径：
根据圆的周长公式$C = 2π r$，可得底面半径$r = C÷(2π)$，代入数据：
$25.12÷3.14÷2 = 4$（米）
2. 求圆锥底面积：
根据圆的面积公式$S = π r^2$，代入半径：
$3.14×4^2 = 3.14×16 = 50.24$（平方米）
3. 求圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V = \frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高），代入数据：
$\frac{1}{3}×50.24×3 = 50.24$（立方米）
4. 求沙堆重量：
总重量 = 体积×每立方米沙的重量，代入数据：
$50.24×1.5 = 75.36$（吨）
答：这堆沙重75.36吨。
【答案】
75.36吨
【知识点】
圆锥体积计算，圆的周长及面积计算
【点评】
本题属于圆锥体积公式的实际应用问题，需要综合运用圆的周长、面积公式以及圆锥体积公式来逐步求解，考查学生对基础几何公式的掌握和实际应用能力，解题关键是理清各量之间的关系，按步骤计算。
【难度系数】
0.7
4. 一间长 $8$ 米、宽 $6$ 米、高 $4$ 米的教室，门窗面积是 $20$ 平方米。要粉刷四壁和天花板，粉刷面积是多少？如果每平方米用石灰 $200$ 克，一共需要多少石灰？
答案
1. 计算天花板面积：$8×6 = 48$（平方米）
2. 计算四壁面积：$2×(8×4 + 6×4) = 2×(32 + 24) = 2×56 = 112$（平方米）
3. 计算总面积：$48 + 112 = 160$（平方米）
4. 计算粉刷面积：$160 - 20 = 140$（平方米）
5. 计算石灰用量：$140×200 = 28000$（克）= 28（千克）
粉刷面积是140平方米，一共需要28千克石灰。
2. 计算四壁面积：$2×(8×4 + 6×4) = 2×(32 + 24) = 2×56 = 112$（平方米）
3. 计算总面积：$48 + 112 = 160$（平方米）
4. 计算粉刷面积：$160 - 20 = 140$（平方米）
5. 计算石灰用量：$140×200 = 28000$（克）= 28（千克）
粉刷面积是140平方米，一共需要28千克石灰。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要分两步思考：首先计算实际需要粉刷的面积，然后根据每平方米石灰用量计算总石灰量。
1. 首先明确粉刷范围：四壁和天花板，也就是长方体的5个面（缺少地面），所以先分别算出天花板面积和四壁的总面积，再减去门窗的面积，得到实际粉刷面积。
2. 算出粉刷面积后，用粉刷面积乘以每平方米的石灰用量，得到总石灰量，注意最后要进行单位换算（克换算成千克）。
【解析】
1. 计算天花板面积：
$8×6 = 48$（平方米）
2. 计算四壁的总面积：
$2×(8×4 + 6×4) = 2×(32 + 24) = 2×56 = 112$（平方米）
3. 计算天花板和四壁的总面积：
$48 + 112 = 160$（平方米）
4. 计算实际粉刷面积（减去门窗面积）：
$160 - 20 = 140$（平方米）
5. 计算石灰总用量：
$140×200 = 28000$（克），因为1千克=1000克，所以$28000÷1000 = 28$（千克）
【答案】
粉刷面积是140平方米，一共需要28千克石灰。
【知识点】
长方体表面积计算、实际面积应用、质量单位换算
【点评】
本题是长方体表面积在实际生活中的典型应用，解题关键是准确判断需要计算的面的范围（排除地面和门窗），同时要注意单位的换算，考查学生将数学知识与实际问题结合的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要分两步思考：首先计算实际需要粉刷的面积，然后根据每平方米石灰用量计算总石灰量。
1. 首先明确粉刷范围：四壁和天花板，也就是长方体的5个面（缺少地面），所以先分别算出天花板面积和四壁的总面积，再减去门窗的面积，得到实际粉刷面积。
2. 算出粉刷面积后，用粉刷面积乘以每平方米的石灰用量，得到总石灰量，注意最后要进行单位换算（克换算成千克）。
【解析】
1. 计算天花板面积：
$8×6 = 48$（平方米）
2. 计算四壁的总面积：
$2×(8×4 + 6×4) = 2×(32 + 24) = 2×56 = 112$（平方米）
3. 计算天花板和四壁的总面积：
$48 + 112 = 160$（平方米）
4. 计算实际粉刷面积（减去门窗面积）：
$160 - 20 = 140$（平方米）
5. 计算石灰总用量：
$140×200 = 28000$（克），因为1千克=1000克，所以$28000÷1000 = 28$（千克）
【答案】
粉刷面积是140平方米，一共需要28千克石灰。
【知识点】
长方体表面积计算、实际面积应用、质量单位换算
【点评】
本题是长方体表面积在实际生活中的典型应用，解题关键是准确判断需要计算的面的范围（排除地面和门窗），同时要注意单位的换算，考查学生将数学知识与实际问题结合的能力。
【难度系数】
0.8
5. 有一块长方形的铁皮，长 $32cm$，在这块铁皮的四周各剪下一个边长为 $4cm$ 的小正方形，做成一个长方体盒子。已知这个盒子的容积是 $768cm^{3}$，求原长方形铁皮的面积。
答案
解：盒子的长：$32 - 4×2 = 24$（cm）
盒子的高：$4$cm
设原长方形铁皮的宽为$x$cm，盒子的宽为$(x - 4×2)$cm，即$(x - 8)$cm。
根据容积公式：长×宽×高=容积，可得
$24×(x - 8)×4 = 768$
$96×(x - 8) = 768$
$x - 8 = 768÷96$
$x - 8 = 8$
$x = 16$
原长方形铁皮面积：$32×16 = 512$（$cm^2$）
答：原长方形铁皮的面积是$512cm^2$。
盒子的高：$4$cm
设原长方形铁皮的宽为$x$cm，盒子的宽为$(x - 4×2)$cm，即$(x - 8)$cm。
根据容积公式：长×宽×高=容积，可得
$24×(x - 8)×4 = 768$
$96×(x - 8) = 768$
$x - 8 = 768÷96$
$x - 8 = 8$
$x = 16$
原长方形铁皮面积：$32×16 = 512$（$cm^2$）
答：原长方形铁皮的面积是$512cm^2$。
解析
【分析】
要计算原长方形铁皮的面积，已知原铁皮的长，关键是求出原铁皮的宽。首先分析做成的长方体盒子的各边长度：原铁皮长32cm，四周各剪去边长4cm的小正方形，所以盒子的长是原长减去2个4cm；盒子的高就是小正方形的边长4cm。设原铁皮的宽为x cm，那么盒子的宽就是原宽减去2个4cm，即(x-8)cm。再根据长方体容积公式（长×宽×高=容积），代入已知的容积数值，列出方程求出原铁皮的宽，最后用原长×原宽计算出原长方形铁皮的面积。
【解析】
1. 计算盒子的长：
$32 - 4×2 = 24$（cm）
2. 盒子的高为小正方形的边长，即$4$cm。
3. 设原长方形铁皮的宽为$x$cm，则盒子的宽为$(x - 4×2)=(x - 8)$cm。
4. 根据长方体容积公式$V=长×宽×高$，可列方程：
$24×(x - 8)×4 = 768$
化简得：
$96×(x - 8) = 768$
$x - 8 = 768÷96$
$x - 8 = 8$
$x = 16$
5. 计算原长方形铁皮的面积：
$32×16 = 512$（$cm^2$）
答：原长方形铁皮的面积是$512cm^2$。
【答案】
$512cm^2$
【知识点】
长方体容积计算，长方形面积计算，列方程解应用题
【点评】
本题需要理解平面图形到立体图形的转化关系，明确剪去小正方形后长方体盒子的长、宽、高与原长方形铁皮长、宽的联系，通过容积公式建立方程求解，既考察了对立体图形容积公式的掌握，也考察了方程在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.6
要计算原长方形铁皮的面积，已知原铁皮的长，关键是求出原铁皮的宽。首先分析做成的长方体盒子的各边长度：原铁皮长32cm，四周各剪去边长4cm的小正方形，所以盒子的长是原长减去2个4cm；盒子的高就是小正方形的边长4cm。设原铁皮的宽为x cm，那么盒子的宽就是原宽减去2个4cm，即(x-8)cm。再根据长方体容积公式（长×宽×高=容积），代入已知的容积数值，列出方程求出原铁皮的宽，最后用原长×原宽计算出原长方形铁皮的面积。
【解析】
1. 计算盒子的长：
$32 - 4×2 = 24$（cm）
2. 盒子的高为小正方形的边长，即$4$cm。
3. 设原长方形铁皮的宽为$x$cm，则盒子的宽为$(x - 4×2)=(x - 8)$cm。
4. 根据长方体容积公式$V=长×宽×高$，可列方程：
$24×(x - 8)×4 = 768$
化简得：
$96×(x - 8) = 768$
$x - 8 = 768÷96$
$x - 8 = 8$
$x = 16$
5. 计算原长方形铁皮的面积：
$32×16 = 512$（$cm^2$）
答：原长方形铁皮的面积是$512cm^2$。
【答案】
$512cm^2$
【知识点】
长方体容积计算，长方形面积计算，列方程解应用题
【点评】
本题需要理解平面图形到立体图形的转化关系，明确剪去小正方形后长方体盒子的长、宽、高与原长方形铁皮长、宽的联系，通过容积公式建立方程求解，既考察了对立体图形容积公式的掌握，也考察了方程在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.6
