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4. 小丽用 12 个边长是 2 厘米的小正方形拼图形。
（1）如果要拼成一个长方形，怎样拼才能使拼成的长方形周长最短？此时这个长方形的长和宽分别是多少？
（2）如果要拼成一个正方形，至少再添上几个小正方形？拼出的正方形的周长是多少？
（1）如果要拼成一个长方形，怎样拼才能使拼成的长方形周长最短？此时这个长方形的长和宽分别是多少？
（2）如果要拼成一个正方形，至少再添上几个小正方形？拼出的正方形的周长是多少？
答案
（1）小正方形排成3行4列或4行3列时，拼成的长方形周长最短，此时长为2×4=8（厘米），宽为2×3=6（厘米）。
（2）至少再添上4个小正方形。
边长：2×4=8（厘米）
周长：8×4=32（厘米）
（2）至少再添上4个小正方形。
边长：2×4=8（厘米）
周长：8×4=32（厘米）
解析
【分析】
（1）要解决用12个小正方形拼长方形使周长最短的问题，首先明确长方形的面积等于12个小正方形的面积和，因此长方形长和宽所包含的小正方形个数乘积为12。先列出所有可能的拼法：①1行12列，②2行6列，③3行4列（或4行3列）。根据长方形周长公式“周长=(长+宽)×2”，分别计算每种拼法的周长，对比后可知长和宽越接近，周长越短，因此3行4列或4行3列的拼法周长最短，再结合小正方形边长算出长和宽。
（2）要拼成正方形，正方形边长所包含的小正方形个数必须相等，即小正方形总个数是完全平方数。先找出大于12的最小完全平方数是16（4×4），用16减去现有12个，得到需要添上的小正方形个数，再根据小正方形边长算出拼成的正方形边长，最后用正方形周长公式“周长=边长×4”计算周长。
【解析】
（1）12个小正方形拼长方形的所有可能拼法：
拼法1：1行12列，长=2×12=24厘米，宽=2×1=2厘米，周长=(24+2)×2=52厘米；
拼法2：2行6列，长=2×6=12厘米，宽=2×2=4厘米，周长=(12+4)×2=32厘米；
拼法3：3行4列，长=2×4=8厘米，宽=2×3=6厘米，周长=(8+6)×2=28厘米；
对比三种拼法的周长，28厘米最短，所以拼成3行4列或4行3列的长方形周长最短，此时长8厘米，宽6厘米。
（2）要拼成正方形，小正方形总个数需为完全平方数，大于12的最小完全平方数是16（4×4），则至少添上的小正方形个数：16-12=4（个）。
拼成的正方形边长：2×4=8（厘米）
正方形周长：8×4=32（厘米）
【答案】
（1）小正方形排成3行4列或4行3列时，拼成的长方形周长最短，此时长为8厘米，宽为6厘米。
（2）至少再添上4个小正方形，拼出的正方形的周长是32厘米。
【知识点】
长方形周长计算、正方形周长计算、图形拼接问题
【点评】
本题考查长方形和正方形的周长计算及图形拼接的应用，需要学生理解“长方形长和宽越接近，周长越短”的规律，以及正方形边长的特征，培养空间想象能力和逻辑分析能力，同时巩固周长公式的运用。
【难度系数】
0.6
（1）要解决用12个小正方形拼长方形使周长最短的问题，首先明确长方形的面积等于12个小正方形的面积和，因此长方形长和宽所包含的小正方形个数乘积为12。先列出所有可能的拼法：①1行12列，②2行6列，③3行4列（或4行3列）。根据长方形周长公式“周长=(长+宽)×2”，分别计算每种拼法的周长，对比后可知长和宽越接近，周长越短，因此3行4列或4行3列的拼法周长最短，再结合小正方形边长算出长和宽。
（2）要拼成正方形，正方形边长所包含的小正方形个数必须相等，即小正方形总个数是完全平方数。先找出大于12的最小完全平方数是16（4×4），用16减去现有12个，得到需要添上的小正方形个数，再根据小正方形边长算出拼成的正方形边长，最后用正方形周长公式“周长=边长×4”计算周长。
【解析】
（1）12个小正方形拼长方形的所有可能拼法：
拼法1：1行12列，长=2×12=24厘米，宽=2×1=2厘米，周长=(24+2)×2=52厘米；
拼法2：2行6列，长=2×6=12厘米，宽=2×2=4厘米，周长=(12+4)×2=32厘米；
拼法3：3行4列，长=2×4=8厘米，宽=2×3=6厘米，周长=(8+6)×2=28厘米；
对比三种拼法的周长，28厘米最短，所以拼成3行4列或4行3列的长方形周长最短，此时长8厘米，宽6厘米。
（2）要拼成正方形，小正方形总个数需为完全平方数，大于12的最小完全平方数是16（4×4），则至少添上的小正方形个数：16-12=4（个）。
拼成的正方形边长：2×4=8（厘米）
正方形周长：8×4=32（厘米）
【答案】
（1）小正方形排成3行4列或4行3列时，拼成的长方形周长最短，此时长为8厘米，宽为6厘米。
（2）至少再添上4个小正方形，拼出的正方形的周长是32厘米。
【知识点】
长方形周长计算、正方形周长计算、图形拼接问题
【点评】
本题考查长方形和正方形的周长计算及图形拼接的应用，需要学生理解“长方形长和宽越接近，周长越短”的规律，以及正方形边长的特征，培养空间想象能力和逻辑分析能力，同时巩固周长公式的运用。
【难度系数】
0.6
5. 在扎染普及课上，三（1）班的同学们完成了 20 幅扎染作品，每幅作品都是边长为 2 分米的正方形。把这些扎染作品放到一起，做一个“扎染展区”。要在“扎染展区”的四周贴上花边，怎样设计“扎染展区”，才能使贴的花边最少？
答案
每行贴5幅，贴4行，或每行贴4幅，贴5行，才能使贴的花边最少。
解析
【分析】
要使贴的花边最少，本质是让拼成的“扎染展区”的周长最小。已知作品总数是20幅，每幅是边长2分米的正方形，拼成的展区为长方形（20不是完全平方数，无法拼成正方形）。根据长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，当长方形的长和宽越接近时，周长越小。首先需找出20的所有整数因数组合，对应不同的拼法；再计算每种拼法的长、宽及周长，通过比较找到周长最小的拼法。
【解析】
1. 列举20的所有因数组合（对应拼法）：
组合1：1×20，即每行1幅，贴20行。此时长=1×2=2分米，宽=20×2=40分米，周长=(2+40)×2=84分米。
组合2：2×10，即每行2幅，贴10行。此时长=2×2=4分米，宽=10×2=20分米，周长=(4+20)×2=48分米。
组合3：4×5，即每行4幅贴5行，或每行5幅贴4行。此时长=5×2=10分米，宽=4×2=8分米（或长=4×2=8分米，宽=5×2=10分米），周长=(10+8)×2=36分米。
2. 比较三种组合的周长：36＜48＜84，可知组合3的周长最小。
【答案】
每行贴5幅，贴4行，或每行贴4幅，贴5行，才能使贴的花边最少。
【知识点】
长方形周长计算、面积一定时长宽与周长的关系
【点评】
本题考查长方形周长的实际应用，核心是理解“面积固定时，长和宽越接近，周长越小”的规律，需要通过列举所有可能拼法并计算比较来解决，锻炼了学生的逻辑分析能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
要使贴的花边最少，本质是让拼成的“扎染展区”的周长最小。已知作品总数是20幅，每幅是边长2分米的正方形，拼成的展区为长方形（20不是完全平方数，无法拼成正方形）。根据长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，当长方形的长和宽越接近时，周长越小。首先需找出20的所有整数因数组合，对应不同的拼法；再计算每种拼法的长、宽及周长，通过比较找到周长最小的拼法。
【解析】
1. 列举20的所有因数组合（对应拼法）：
组合1：1×20，即每行1幅，贴20行。此时长=1×2=2分米，宽=20×2=40分米，周长=(2+40)×2=84分米。
组合2：2×10，即每行2幅，贴10行。此时长=2×2=4分米，宽=10×2=20分米，周长=(4+20)×2=48分米。
组合3：4×5，即每行4幅贴5行，或每行5幅贴4行。此时长=5×2=10分米，宽=4×2=8分米（或长=4×2=8分米，宽=5×2=10分米），周长=(10+8)×2=36分米。
2. 比较三种组合的周长：36＜48＜84，可知组合3的周长最小。
【答案】
每行贴5幅，贴4行，或每行贴4幅，贴5行，才能使贴的花边最少。
【知识点】
长方形周长计算、面积一定时长宽与周长的关系
【点评】
本题考查长方形周长的实际应用，核心是理解“面积固定时，长和宽越接近，周长越小”的规律，需要通过列举所有可能拼法并计算比较来解决，锻炼了学生的逻辑分析能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
6. 把一些长 2 厘米、宽 1 厘米的长方形按图中所示的规律一层一层地摆下去，当摆到第 5 层时，摆成的图形的周长是多少厘米？
答案
摆到第5层时，平移部分边，摆成的图形可以转化为长方形，长为2×5=10（厘米），宽为1×5=5（厘米），周长为(10+5)×2=30（厘米）。
解析
【分析】
首先观察图形的摆放规律，我们可以利用平移的思想，将摆成的不规则图形的边进行平移，转化为一个规则的长方形，从而借助长方形周长公式简化计算。思考步骤：1. 确定第5层时转化后长方形的长：每层的长方形长2厘米，第5层有5个长方形并排，因此长为2×5；2. 确定转化后长方形的宽：每个长方形宽1厘米，摆5层，因此宽为1×5；3. 最后代入长方形周长公式（长+宽）×2计算周长。
【解析】
当摆到第5层时，通过平移图形的边，可将该不规则图形转化为一个长方形：
1. 计算转化后长方形的长：$2×5 = 10$（厘米）
2. 计算转化后长方形的宽：$1×5 = 5$（厘米）
3. 计算长方形的周长：$(10 + 5)×2 = 30$（厘米）
【答案】
30厘米
【知识点】
图形平移转化、长方形周长计算
【点评】
本题考查了平移思想在图形周长计算中的应用，通过将不规则图形转化为规则的长方形，简化了计算过程。解题关键是观察图形规律，掌握长方形周长公式，学会利用转化思想解决几何问题。
【难度系数】
0.6
首先观察图形的摆放规律，我们可以利用平移的思想，将摆成的不规则图形的边进行平移，转化为一个规则的长方形，从而借助长方形周长公式简化计算。思考步骤：1. 确定第5层时转化后长方形的长：每层的长方形长2厘米，第5层有5个长方形并排，因此长为2×5；2. 确定转化后长方形的宽：每个长方形宽1厘米，摆5层，因此宽为1×5；3. 最后代入长方形周长公式（长+宽）×2计算周长。
【解析】
当摆到第5层时，通过平移图形的边，可将该不规则图形转化为一个长方形：
1. 计算转化后长方形的长：$2×5 = 10$（厘米）
2. 计算转化后长方形的宽：$1×5 = 5$（厘米）
3. 计算长方形的周长：$(10 + 5)×2 = 30$（厘米）
【答案】
30厘米
【知识点】
图形平移转化、长方形周长计算
【点评】
本题考查了平移思想在图形周长计算中的应用，通过将不规则图形转化为规则的长方形，简化了计算过程。解题关键是观察图形规律，掌握长方形周长公式，学会利用转化思想解决几何问题。
【难度系数】
0.6
