登录
(3)一个半圆的半径是 $r$ 厘米，它的周长是()厘米。
A.$2π r× \frac{1}{2}$
B.$r+π r$
C.$(2+π)r$
D.$\frac{1}{2}π r$
A.$2π r× \frac{1}{2}$
B.$r+π r$
C.$(2+π)r$
D.$\frac{1}{2}π r$
答案
C
解析
半圆的周长包括半圆的弧长和一条直径。圆的周长为$2π r$，半圆的弧长为$\frac{1}{2}×2π r = π r$，直径为$2r$，所以半圆的周长为$π r + 2r=(2 + π)r$。
(4)一个高 15 厘米的圆锥形容器装满水后再将水倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水面的高度是()厘米。
A.5
B.15
C.30
D.45
A.5
B.15
C.30
D.45
答案
A
解析
圆锥的体积公式为$V = \frac{1}{3}Sh$（$S$为底面积，$h$为高），圆柱体积公式为$V = S_{柱}h_{柱}$。设圆锥与圆柱底面积为$S$，圆锥高$h_{锥}=15$厘米，那么圆锥体积$V_{锥}=\frac{1}{3}S×15 = 5S$。将水倒入圆柱形容器，此时水的体积不变，即$V_{柱}=V_{锥}=5S$，那么圆柱中水的高度$h = V_{柱}÷ S=5S÷ S = 5$厘米。
(5)一个长方体的棱长总和是 48 厘米，相交于一个顶点的 3 条棱长之和是()。
A.6 厘米
B.9 厘米
C.12 厘米
A.6 厘米
B.9 厘米
C.12 厘米
答案
C
解析
长方体有12条棱，相交于一个顶点的3条棱分别是长、宽、高，且各有4条。棱长总和=4×(长+宽+高)，所以相交于一个顶点的3条棱长之和=棱长总和÷4=48÷4=12厘米。
(6)用 12.56 分米长的铁丝围成正方形、长方形、等边三角形和圆，那么面积最大的是()。
A.长方形
B.正方形
C.等边三角形
D.圆
A.长方形
B.正方形
C.等边三角形
D.圆
答案
D
解析
圆：周长$C=12.56$分米，半径$r=\frac{C}{2π}=\frac{12.56}{2×3.14}=2$分米，面积$S=π r^2=3.14×2^2=12.56$平方分米。
正方形：边长$a=\frac{12.56}{4}=3.14$分米，面积$S=a^2=3.14×3.14=9.8596$平方分米。
等边三角形：边长$a=\frac{12.56}{3}\approx4.187$分米，高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\approx3.62$分米，面积$S=\frac{1}{2}×4.187×3.62\approx7.59$平方分米。
长方形：长+宽$=6.28$分米，面积$=$长×宽，当长=宽时为正方形（面积最大），故长方形面积小于正方形。
比较得：圆面积最大。
4. 王奶奶家的洗衣机长 0.6 米、宽 0.4 米、高 0.9 米，为了防灰尘，她准备用布做一个长方体套子把这台洗衣机罩起来，做这个套子至少需用多少平方米的布？（接头处共需用布 0.2 平方米。）
答案
洗衣机套子没有底面，所以需要计算长方体5个面的面积之和，再加上接头处的用布量。
长方体表面积公式（无底面）：$S = 长×宽 + 2×长×高 + 2×宽×高$
代入数据：
$0.6×0.4 + 2×0.6×0.9 + 2×0.4×0.9$
$=0.24 + 2×0.54 + 2×0.36$
$=0.24 + 1.08 + 0.72$
$=0.24 + 1.8$
$=2.04$（平方米）
加上接头处用布：$2.04 + 0.2 = 2.24$（平方米）
答：做这个套子至少需用2.24平方米的布。
长方体表面积公式（无底面）：$S = 长×宽 + 2×长×高 + 2×宽×高$
代入数据：
$0.6×0.4 + 2×0.6×0.9 + 2×0.4×0.9$
$=0.24 + 2×0.54 + 2×0.36$
$=0.24 + 1.08 + 0.72$
$=0.24 + 1.8$
$=2.04$（平方米）
加上接头处用布：$2.04 + 0.2 = 2.24$（平方米）
答：做这个套子至少需用2.24平方米的布。
5. 将一个底面直径是 8 分米的圆柱沿底面直径垂直切割开，它的表面积增加了 80 平方分米。这个圆柱的体积是多少立方分米？
答案
251.2立方分米。
解析
1. 圆柱底面直径：8分米，半径：8÷2=4分米。
2. 切割后表面积增加两个长方形，每个长方形面积：80÷2=40平方分米。
3. 长方形的长为圆柱高，宽为底面直径，圆柱高：40÷8=5分米。
4. 圆柱体积：$V=π r^2h=3.14×4^2×5=3.14×16×5=251.2$立方分米。
2. 切割后表面积增加两个长方形，每个长方形面积：80÷2=40平方分米。
3. 长方形的长为圆柱高，宽为底面直径，圆柱高：40÷8=5分米。
4. 圆柱体积：$V=π r^2h=3.14×4^2×5=3.14×16×5=251.2$立方分米。
6. 如图把一个底面半径是 3 分米、高是 8 分米的圆柱形木块削成两个最大的顶点相对的圆锥形物体，每个圆锥的高是圆柱高的一半，削成的两个圆锥的体积和是多少立方分米？
答案
1. 每个圆锥的高：8÷2=4（分米）
2. 圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}π r^2h$
3. 单个圆锥体积：$\frac{1}{3}×3.14×3^2×4 = \frac{1}{3}×3.14×9×4=37.68$（立方分米）
4. 两个圆锥体积和：$37.68×2=75.36$（立方分米）
答：削成的两个圆锥的体积和是75.36立方分米。
2. 圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}π r^2h$
3. 单个圆锥体积：$\frac{1}{3}×3.14×3^2×4 = \frac{1}{3}×3.14×9×4=37.68$（立方分米）
4. 两个圆锥体积和：$37.68×2=75.36$（立方分米）
答：削成的两个圆锥的体积和是75.36立方分米。
7. 将下面的直角三角形绕着不同的直角边旋转一周。
（1）画出得到的两个立体图形。（在右面的长方形内画出草图，并标上相关数据。）
（2）这两个立体图形的体积相差多少？
（1）画出得到的两个立体图形。（在右面的长方形内画出草图，并标上相关数据。）
（2）这两个立体图形的体积相差多少？
答案
（1）绕 $3 \mathrm{ cm}$ 直角边旋转得到圆锥：底面半径 $4\mathrm{ cm}$，高 $3 \mathrm{ cm}$。
绕 $4 \mathrm{ cm}$ 直角边旋转得到圆锥：底面半径 $3 \mathrm{ cm}$，高 $4 \mathrm{ cm}$。
草图（标出半径和高）：
第一个圆锥：底面半径 $4\mathrm{ cm}$，高 $3 \mathrm{ cm}$。
第二个圆锥：底面半径 $3 \mathrm{ cm}$，高 $4 \mathrm{ cm}$。
（2）体积计算：
绕 $3 \mathrm{ cm}$ 边旋转体积：
$V_1 = \frac{1}{3} π r^2 h = \frac{1}{3} π × 4^2 × 3 = 16π \mathrm{ cm}^3$。
绕 $4 \mathrm{ cm}$ 边旋转体积：
$V_2 = \frac{1}{3} π r^2 h = \frac{1}{3} π × 3^2 × 4 = 12π \mathrm{ cm}^3$。
体积差：
$V_1 - V_2 = 16π - 12π = 4π \mathrm{ cm}^3$。
体积相差 $4π \mathrm{ cm}^3$。
绕 $4 \mathrm{ cm}$ 直角边旋转得到圆锥：底面半径 $3 \mathrm{ cm}$，高 $4 \mathrm{ cm}$。
草图（标出半径和高）：
第一个圆锥：底面半径 $4\mathrm{ cm}$，高 $3 \mathrm{ cm}$。
第二个圆锥：底面半径 $3 \mathrm{ cm}$，高 $4 \mathrm{ cm}$。
（2）体积计算：
绕 $3 \mathrm{ cm}$ 边旋转体积：
$V_1 = \frac{1}{3} π r^2 h = \frac{1}{3} π × 4^2 × 3 = 16π \mathrm{ cm}^3$。
绕 $4 \mathrm{ cm}$ 边旋转体积：
$V_2 = \frac{1}{3} π r^2 h = \frac{1}{3} π × 3^2 × 4 = 12π \mathrm{ cm}^3$。
体积差：
$V_1 - V_2 = 16π - 12π = 4π \mathrm{ cm}^3$。
体积相差 $4π \mathrm{ cm}^3$。
