2. 如图,在$□ ABCD$中,对角线 $ AC $, $ BD $ 相交于点 $ O $,$△ AOB$是等边三角形. 求证:$□ ABCD$是矩形.

□ABCD是矩形

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB。∴OA=OB=OC=OD，即AC=BD。∴□ABCD是矩形。

3. 如图,在$△ ABC$中,$ AB = AC $,$ AD⊥ BC $,垂足为 $ D $, $ AN $ 是$△ ABC$的外角$∠ CAM$的平分线,$ CE⊥ AN $,垂足为 $ E $. 求证:四边形 $ ADCE $ 是矩形.

四边形ADCE是矩形

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），∠ADC=90°。
∵AN平分∠CAM，
∴∠MAN=∠CAN。
∵∠BAC+∠CAM=180°，
∴∠CAD+∠CAN=90°，即∠DAE=90°。
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°。
∵∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°，
∴四边形ADCE是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。

4. 如图,在$△ ABC$中,$ AB = AC $, $ AD $, $ AE $ 分别是$∠ BAC$和$∠ BAF$的平分线,$ BE⊥ AE $,连接 $ DE $. 求证:$ AB = DE $.

AB=DE

∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAF，
∴∠BAD=1/2∠BAC，∠BAE=1/2∠BAF.
∵∠BAC+∠BAF=180°（平角定义），
∴∠BAD+∠BAE=1/2(∠BAC+∠BAF)=90°，即∠DAE=90°.
∵BE⊥AE，∴∠AEB=90°.
∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADB=90°.
在四边形ADBE中，∠DAE=∠AEB=∠ADB=90°，
∴四边形ADBE是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）.
∵矩形对角线相等，∴AB=DE.

5. 如图,在矩形纸片 $ ABCD $ 中,$ AB = 6\ \mathrm{cm} $,$ BC = 8\ \mathrm{cm} $,将矩形纸片折叠,使点 $ C $ 与点 $ A $ 重合.在图中画出折痕,并求折痕的长.

解：
1. 画出折痕：连接点A与点C，作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线即为折痕EF（E在AD上，F在BC上）。
2. 求折痕长度：
建立坐标系，设B(0,0)，则A(0,6)，C(8,0)，D(8,6)。
线段AC中点M坐标为$(\frac{0+8}{2},\frac{6+0}{2})=(4,3)$。
直线AC斜率$k_{AC}=\frac{0-6}{8-0}=-\frac{3}{4}$，故折痕EF斜率为$\frac{4}{3}$（垂直平分线斜率为负倒数）。
折痕EF方程：$y-3=\frac{4}{3}(x-4)$，即$y=\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}$。
求EF与AD（$y=6$）交点E：$6=\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}⇒ x=\frac{25}{4}$，得E$(\frac{25}{4},6)$。
求EF与BC（$y=0$）交点F：$0=\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}⇒ x=\frac{7}{4}$，得F$(\frac{7}{4},0)$。
折痕EF长度：$\sqrt{(\frac{25}{4}-\frac{7}{4})^2+(6-0)^2}=\sqrt{(\frac{18}{4})^2+6^2}=\sqrt{(\frac{9}{2})^2+36}=\sqrt{\frac{81}{4}+\frac{144}{4}}=\sqrt{\frac{225}{4}}=\frac{15}{2}$。
折痕长为$\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}$（或7.5 cm）。