1. 解三元一次方程组的基本思路是：
三元一次方程组$\xrightarrow{消元}$一次方程组$\xrightarrow{消元}$一次方程

二元；一元

解三元一次方程组的基本思路是利用消元思想，先通过消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组；再继续消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程，后续通过求解一元一次方程并回代得到方程组的解。

2. 以$\begin{cases}x = 3,\\y = 1,\\z = - 1\end{cases}$为解建立一个三元一次方程，下列方程中不正确的是( )

A.$3x - 4y + 2z = 3$
B.$\frac{1}{3}x - y + z = - 1$
C.$x + y - z = - 2$
D.$\frac{x}{2} - \frac{2}{3}y\_\_\_\_\_\_- z =\_\_\_\_\_\_1\frac{5}{6}$

C

将$\begin{cases}x = 3,\\y = 1,\\z = - 1\end{cases}$分别代入各选项：
选项A：$3×3 - 4×1 + 2×(-1)=9-4-2=3$，等式成立；
选项B：$\frac{1}{3}×3 - 1 + (-1)=1-1-1=-1$，等式成立；
选项C：$3 + 1 - (-1)=5≠-2$，等式不成立；
选项D：$\frac{3}{2} - \frac{2}{3}×1 - (-1)=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}+1=\frac{11}{6}=1\frac{5}{6}$，等式成立。
综上，不正确的是选项C。

3. 已知$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$，且$x + y + z = 30$，则$x =$，$y =$，$z =$.

$x=6$，$y=9$，$z=15$

设$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}=k$，则$x=2k$，$y=3k$，$z=5k$。将$x=2k$，$y=3k$，$z=5k$代入$x+y+z=30$，得$2k+3k+5k=30$，解得$k=3$。因此$x=2×3=6$，$y=3×3=9$，$z=5×3=15$。

4. 解方程组$\begin{cases}x + y = 27,\\y + z = 33,\\z + x = 30\end{cases}$时，可以先求出$x + y + z$等于( )

A.$30$
B.$33$
C.$45$
D.$90$

C

将方程组的三个方程左右两边分别相加：
$(x+y)+(y+z)+(z+x)=27+33+30$
化简得：$2(x+y+z)=90$
两边同时除以2，得：$x+y+z=45$

5. 解三元一次方程组：
（1）$\begin{cases}x - 2y = - 9,\\y - z = 2,\\2z + x = 47.\end{cases}$
（2）$\begin{cases}3x - y + z = 4,\\2x + 3y - z = 12,\\x + y + z = 6.\end{cases}$

解：
（1）$\begin{cases}x - 2y = - 9,①\\y - z = 2,②\\2z + x = 47.③\end{cases}$
③ - ①，得：
$2z + 2y = 56$，即$y + z = 28$，④
② + ④，得：
$2y = 30$，解得$y = 15$
把$y = 15$代入②，得：
$15 - z = 2$，解得$z = 13$
把$y = 15$代入①，得：
$x - 2×15 = -9$，解得$x = 21$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=21\\y=15\\z=13\end{cases}$
（2）$\begin{cases}3x - y + z = 4,①\\2x + 3y - z = 12,②\\x + y + z = 6.③\end{cases}$
① + ②，得：
$5x + 2y = 16$，④
② + ③，得：
$3x + 4y = 18$，⑤
④×2，得：
$10x + 4y = 32$，⑥
⑥ - ⑤，得：
$7x = 14$，解得$x = 2$
把$x = 2$代入④，得：
$5×2 + 2y = 16$，解得$y = 3$
把$x = 2$，$y = 3$代入③，得：
$2 + 3 + z = 6$，解得$z = 1$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=3\\z=1\end{cases}$