6. 在三角形纸片 $ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A = 30^{\circ}$，$BC = \sqrt{3}$. 折叠该纸片，使点 $A$ 与点 $B$ 重合，折痕与 $AB$，$AC$ 分别相交于点 $D$ 和点 $E$，折痕 $DE$ 的长为.

6. 1

7. 银川市“旧城改造”项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 $a$ 元，则购买这种草皮一共需要元.

7. 150a

8. 已知 $△ ABC$ 是边长为 $6\mathrm{cm}$ 的等边三角形，动点 $P$，$Q$ 同时从 $A$，$B$ 两点出发，分别沿 $AB$，$BC$ 匀速运动，其中点 $P$ 运动的速度是 $1\mathrm{cm/s}$，点 $Q$ 运动的速度是 $2\mathrm{cm/s}$，当点 $Q$ 到达点 $C$ 时，$P$，$Q$ 两点都停止运动，设运动时间为 $t(\mathrm{s})$，当 $t = 2$ 时，判断 $△ BPQ$ 的形状，并说明理由.

8. 答:△BPQ 为等边三角形.
理由:当 t = 2 时,AP = 1×2 = 2(cm)
BQ = 2×2 = 4(cm),
∵△ABC 的边长为 6cm
∴BP = AB - AP = 6 - 2 = 4(cm)
在△BPQ 中∠B = 60°,BP = BQ = 4(cm)
∴△BPQ 为等边三角形.

1. 已知等边 $△ ABC$ 中，$D$，$E$ 分别为 $BC$，$AC$ 上的点，且 $AE = CD$，连接 $AD$，$BE$ 交于点 $P$，过 $B$ 作 $QB ⊥ AD$，$Q$ 为垂足.
（1）求证：$∠ ABE = ∠ CAD$；
（2）求证：$BP = 2PQ$.

1. (1) 证明:
∵△ABC 为等边三角形(已知)
∴AB = AC ∠BAC = ∠C = 60°
在△BAE 和△ACD 中
{BA = AC(已证)
∠BAE = ∠C = 60°(已证)
AE = CD(已知)
∴△BAE ≌ △ACD(SAS)
∴∠ABE = ∠CAD
(2) 证明:
∵△BAE ≌ △ACD(已证)
∴∠BEA = ∠ADC
在△APE 中∠CAD + ∠AEB + ∠APE = 180°,在△ADC 中∠CAD + ∠ADC + ∠C = 180°,
∴∠APE = ∠C = 60°
∴∠BPQ = ∠APE = 60°
在 Rt△BQP 中∠PBQ = 30°
∴BP = 2PQ.

2. 小岛 $C$ 周围 $2$ 海里内有暗礁，一轮船沿正北方向航行，在 $A$ 处测得该岛在北偏东 $15^{\circ}$ 方向上，继续航行了 $5$ 海里到达 $B$ 处，又测得该岛在北偏东 $30^{\circ}$ 方向上.
（1）轮船在航行过程中与小岛的最近距离是多少？
（2）若该船不改变航向，有无触礁的危险？

2. 解:(1) 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D

∵∠CBD = 30°
∠CAD = 15°(已知)
∴∠ACB = ∠CBD - ∠CAD = 15°
∴∠DAC = ∠ACB = 15°
∴AB = CB
∵AB = 5(已知)
∴CB = 5
在 Rt△BDC 中∠BDC = 90° CB = 5
∠DBC = 30°
∴CD = $\frac{1}{2}$CB = 2.5
答:轮船在航行过程中与小岛的最近距离是 2.5 海里.
(2)
∵2.5 ＞ 2
∴ 没有触礁的危险.