3. 若互余的两个角有一条公共边，则这两个角的角平分线所组成的角()

A.等于 $ 45° $
B.小于 $ 45° $
C.小于或等于 $ 45° $
D.大于或等于 $ 45° $

3. C

【分析】
首先明确互余角的定义：和为90°的两个角互余。题目中互余的两个角有一条公共边，需分两种情况讨论：
1. 若两个角的另一边在公共边的两侧，此时两角相邻组成直角，可通过角平分线的定义计算出角平分线组成的角；
2. 若两个角的另一边在公共边的同侧，即一个角在另一个角内部，同样利用角平分线定义推导角平分线组成的角的范围。
综合两种情况即可得出最终结论。
【解析】
设互余的两个角分别为$∠α$和$∠β$，则$∠α + ∠β = 90°$，且它们有一条公共边。
分两种情况讨论：
情况1：两个角的另一边在公共边的两侧
此时$∠α$与$∠β$相邻组成直角，它们的角平分线将$∠α$、$∠β$分别分为$\frac{1}{2}∠α$和$\frac{1}{2}∠β$，则角平分线组成的角为：
$\frac{1}{2}∠α + \frac{1}{2}∠β = \frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
情况2：两个角的另一边在公共边的同侧
此时一个角在另一个角内部，不妨设$∠α ＞ ∠β$，它们的角平分线组成的角为：
$\frac{1}{2}∠α - \frac{1}{2}∠β = \frac{1}{2}(∠α - ∠β)$
将$∠α = 90° - ∠β$代入上式：
$\frac{1}{2}(90° - ∠β - ∠β) = \frac{1}{2}(90° - 2∠β) = 45° - ∠β$
因为$∠β ＞ 0°$，所以$45° - ∠β ＜ 45°$。
综上，这两个角的角平分线所组成的角小于或等于$45°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
互余角的定义，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题结合互余角与角平分线的知识，重点考查分类讨论的数学思想，解题时需全面考虑两个互余角的位置关系，避免因遗漏情况而选错答案，有助于提升学生的逻辑思维与严谨性。
【难度系数】
0.4

4. 如图是对顶角量角器，用它测量角的原理是.

4. 对顶角相等

【分析】
首先观察对顶角量角器的结构，被测角和量角器上显示度数的角是一对对顶角。回忆对顶角的性质：对顶角的度数相等，因此可以通过读取量角器上角的度数，得到被测角的度数，所以测量角的原理是对顶角相等。
【解析】
对顶角量角器工作时，被测角与量角器上标注度数的角互为对顶角，根据“对顶角相等”的性质，量角器上的角的度数等于被测角的度数，从而实现角的测量，因此测量原理为对顶角相等。
【答案】
对顶角相等
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题考查对顶角性质的实际应用，需要结合对顶角的定义理解量角器的工作逻辑，属于基础概念的实际运用题，侧重知识与生活工具的关联考查。
【难度系数】
0.9

5. 如图，其中共有 对对顶角.

5. 4

【分析】
要确定图中的对顶角数量，首先回忆对顶角的定义：两条直线相交时，形成的四个角中，相对的两个角互为对顶角，每两条相交直线会产生2对对顶角。我们可以先找出图中所有的相交直线组，再计算对顶角总数：
1. 先看直线FB与直线AD相交于点B，这组相交直线能形成2对对顶角；
2. 再看直线FG与直线EC相交于点H，这组相交直线能形成2对对顶角；
将两组的对顶角数量相加，即可得到总对顶角数。
【解析】
根据对顶角的定义，逐一分析图中的相交直线：
1. 直线FB与直线AD交于点B，形成的对顶角为$∠ ABF$与$∠ DBC$、$∠ FBC$与$∠ ABD$，共2对；
2. 直线FG与直线EC交于点H，形成的对顶角为$∠ FHB$与$∠ GHE$、$∠ FHC$与$∠ GHB$，共2对；
将两组对顶角数量相加：$2+2=4$（对）。
【答案】
4
【知识点】
对顶角的定义
【点评】
本题主要考查对顶角的识别，解题关键是准确找出所有相交的直线组，避免重复或遗漏，掌握“两条相交直线对应2对对顶角”的规律是快速解题的技巧。
【难度系数】
0.7

6. 若 $ ∠ 1 $ 与 $ ∠ 2 $ 互余，$ ∠ 3 $ 和 $ ∠ 2 $ 互补，且 $ ∠ 3 = 120° $，那么 $ ∠ 1 = $.

6. 30°

【分析】
首先回忆互余和互补的定义：互余的两个角之和为90°，互补的两个角之和为180°。题目已知∠3和∠2互补且∠3=120°，所以先通过互补关系求出∠2的度数；再利用∠1和∠2互余的关系，代入∠2的度数即可求出∠1的度数。
【解析】
1. 因为∠3和∠2互补，根据互补的定义，可得：
$∠2 + ∠3 = 180°$
已知$∠3 = 120°$，代入得：
$∠2 = 180° - 120° = 60°$
2. 因为∠1和∠2互余，根据互余的定义，可得：
$∠1 + ∠2 = 90°$
将$∠2 = 60°$代入得：
$∠1 = 90° - 60° = 30°$
【答案】
30°
【知识点】
余角的定义、补角的定义
【点评】
本题主要考查余角和补角的基本定义，解题的关键是熟练运用互余、互补的角度关系进行计算，属于基础题型，只要掌握核心定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.9

7. 如图，$ ∠ AOC = 90° $，点 $ B $，$ O $，$ D $ 在同一直线上，若 $ ∠ 1 = 26° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为.

7. 116

【分析】
首先，观察图形可知∠AOC是直角，已知∠1的度数，可先求出∠COB的度数；又因为点B、O、D在同一直线上，∠2与∠COB组成平角，结合平角的定义，即可求出∠2的度数。具体思路为：先利用直角的度数减去∠1得到∠COB，再用平角的度数减去∠COB得到∠2。
【解析】
已知$∠AOC = 90°$，$∠1 = 26°$，根据角的和差关系可得：
$∠COB = ∠AOC - ∠1 = 90° - 26° = 64°$。
因为点$B$，$O$，$D$在同一直线上，所以$∠2 + ∠COB = 180°$（平角的定义），则：
$∠2 = 180° - ∠COB = 180° - 64° = 116°$。
【答案】
116
【知识点】
直角的定义，平角的定义，角的和差计算
【点评】
本题考查直角、平角的定义及角的和差运算，解题关键是明确图形中各角之间的数量关系，通过简单的角的加减运算即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

8. 一个角的余角是这个角的补角的 $ \frac{1}{4} $，则这个角的度数为.

8. 60°

【分析】
首先明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角；若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。解题思路如下：
1. 设这个角的度数为未知数$ x° $，方便后续列方程；
2. 根据余角、补角的定义，分别表示出该角的余角为$ (90 - x)° $，补角为$ (180 - x)° $；
3. 依据题目中“余角是补角的$\frac{1}{4}$”这一等量关系，列出一元一次方程；
4. 解方程求出$ x $的值，即可得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x° $。
根据余角的定义，该角的余角为$ (90 - x)° $；
根据补角的定义，该角的补角为$ (180 - x)° $。
根据题意可列方程：
$90 - x = \frac{1}{4}(180 - x)$
解方程：
两边同时乘以4，得：
$360 - 4x = 180 - x$
移项，得：
$-4x + x = 180 - 360$
合并同类项，得：
$-3x = -180$
系数化为1，得：
$x = 60$
【答案】
$ 60° $
【知识点】
1. 余角与补角的定义
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查余角、补角的概念以及一元一次方程在角度计算中的应用。解题的关键是准确理解余角和补角的定义，根据题目中的等量关系建立方程，通过解方程求解角度，需要学生熟练掌握相关概念和方程的基本解法。
【难度系数】
0.8

9. 如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点 $O$，绕点 $O$ 任意转动其中一个三角尺，则与 $∠ AOD$ 始终相等的角是.

9. ∠BOC

【分析】
首先观察图形可知，两个三角尺的直角顶点重合于点$O$，因此$∠ AOB$和$∠ COD$均为直角（$90°$）。我们可以通过角的和差关系分析：$∠ AOD$与$∠ DOB$的和为$∠ AOB$，$∠ BOC$与$∠ DOB$的和为$∠ COD$，由此可利用“同角的余角相等”的性质推导相等的角。
【解析】
因为三角尺的直角顶点重合于$O$，所以$∠ AOB = ∠ COD = 90°$。
由此可得：$∠ AOD + ∠ DOB = ∠ AOB = 90°$，$∠ BOC + ∠ DOB = ∠ COD = 90°$。
根据“同角的余角相等”，可知$∠ AOD$和$∠ BOC$都是$∠ DOB$的余角，因此$∠ AOD = ∠ BOC$。
【答案】
$∠ BOC$
【知识点】
同角的余角相等，直角的性质
【点评】
本题考查余角性质的实际应用，解题核心是结合图形识别角之间的和差关系，利用“同角的余角相等”这一性质推导相等角，需要学生熟练掌握余角的基本性质，具备简单的图形分析能力。
【难度系数】
0.7

10. 已知：如图，点 $ A $，$ O $，$ B $ 在同一条直线上，$ OC $ 是一条射线，$ ∠ AOF = \frac{1}{2} ∠ AOC $，$ ∠ BOE = \frac{1}{2} ∠ BOC $，则：
（1）试说明 $ ∠ 1 $ 与 $ ∠ 2 $ 互余.
（2）指出图中所有互余的角和互补的角.

10. 解:(1)因为点A,O,B在同一直线上
所以∠AOC+∠BOC=180°
所以∠1+∠2=1/2∠AOC+1/2∠BOC=1/2(∠AOC+∠BOC)=1/2×180°=90°
所以∠1与∠2互余.
(2)互余的角为:∠AOF与∠BOE,∠AOF与∠2,∠1与∠2,∠1与∠BOE.
互补的角为:∠AOE与∠BOE,∠AOC与∠BOC,∠BOF与∠AOF,∠BOF与∠1,∠AOE与∠2.

【分析】
（1）要说明∠1与∠2互余，根据互余的定义，需证明∠1+∠2=90°。已知点A、O、B共线，可得∠AOC+∠BOC=180°（平角定义），又因为∠1=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠2=$\frac{1}{2}$∠BOC，将∠1+∠2转化为$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)，代入平角度数即可求出和为90°，从而证明互余。
（2）找互余的角时，利用∠AOF=∠1，∠BOE=∠2，结合（1）中∠1+∠2=90°，进行等量替换即可找出所有和为90°的角；找互补的角时，根据互补的定义（和为180°），结合平角的性质以及等量代换，找出所有和为180°的角。
【解析】
(1) 因为点$A$，$O$，$B$在同一直线上，
所以$∠ AOC + ∠ BOC = 180°$（平角的定义）。
又因为$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ BOC$，
所以$∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}∠ AOC + \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，
所以$∠ 1$与$∠ 2$互余（互余的定义）。
(2) 互余的角：
因为$∠ AOF = \frac{1}{2}∠ AOC = ∠ 1$，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOC = ∠ 2$，且$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，
所以互余的角为：$∠ AOF$与$∠ BOE$，$∠ AOF$与$∠ 2$，$∠ 1$与$∠ 2$，$∠ 1$与$∠ BOE$。
互补的角：
根据平角的定义，$∠ AOE + ∠ BOE = 180°$，$∠ AOC + ∠ BOC = 180°$，$∠ BOF + ∠ AOF = 180°$；
又因为$∠ AOF = ∠ 1$，$∠ BOE = ∠ 2$，
所以$∠ BOF + ∠ 1 = 180°$，$∠ AOE + ∠ 2 = 180°$。
因此互补的角为：$∠ AOE$与$∠ BOE$，$∠ AOC$与$∠ BOC$，$∠ BOF$与$∠ AOF$，$∠ BOF$与$∠ 1$，$∠ AOE$与$∠ 2$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 互余的角：$\boldsymbol{∠ AOF}$与$\boldsymbol{∠ BOE}$，$\boldsymbol{∠ AOF}$与$\boldsymbol{∠ 2}$，$\boldsymbol{∠ 1}$与$\boldsymbol{∠ 2}$，$\boldsymbol{∠ 1}$与$\boldsymbol{∠ BOE}$；
互补的角：$\boldsymbol{∠ AOE}$与$\boldsymbol{∠ BOE}$，$\boldsymbol{∠ AOC}$与$\boldsymbol{∠ BOC}$，$\boldsymbol{∠ BOF}$与$\boldsymbol{∠ AOF}$，$\boldsymbol{∠ BOF}$与$\boldsymbol{∠ 1}$，$\boldsymbol{∠ AOE}$与$\boldsymbol{∠ 2}$。
【知识点】
1. 余角与补角的定义
2. 平角的定义
3. 角的和差运算
【点评】
本题主要考查余角、补角的定义及平角的性质，解题关键是利用角的倍数关系进行等量代换，在寻找互余、互补的角时，要注意全面思考，避免遗漏。
【难度系数】
0.6

11. 一个角的补角加上 $ 10° $ 后等于这个角的余角的三倍，求这个角的度数.

11. 解:设这个角为x.
则180°-x+10°=3(90°-x)
解得x=40°
所以这个角为40°.

【分析】
首先要明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角；若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。题目给出了“一个角的补角加10°等于这个角余角的三倍”的等量关系，我们可以先设这个角的度数为$ x $，再分别用$ x $表示出它的补角和余角，最后根据等量关系列出一元一次方程并求解即可。
【解析】
解：设这个角的度数为$ x $。
根据余角和补角的定义，该角的补角为$ 180° - x $，余角为$ 90° - x $。
由题意可列方程：
$ 180° - x + 10° = 3(90° - x) $
化简方程得：
$ 190° - x = 270° - 3x $
移项得：
$ 3x - x = 270° - 190° $
合并同类项得：
$ 2x = 80° $
解得：
$ x = 40° $
所以这个角的度数为40°。
【答案】
40°
【知识点】
1. 余角与补角的定义；2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础几何与代数结合的题型，核心是利用余角、补角的定义将几何关系转化为代数方程，解题关键是准确理解概念并找准等量关系，能有效巩固学生对几何概念的理解和方程求解能力。
【难度系数】
0.8

12. 如图，直线 $ AB $，$ EF $ 相交于点 $ D $，$ ∠ ADC = 90° $.
(1)$ ∠ 1 $ 的对顶角是，$ ∠ 2 $ 的余角有；
(2)若 $ ∠ 1 $ 与 $ ∠ 2 $ 的度数之比为 $ 1 : 4 $，求 $ ∠ CDF $，$ ∠ EDB $ 的度数.

12. (1)∠GDF ∠1、∠GDF
(2)因为∠1与∠2的度数之比为1:4
所以∠1=90°×1/(1+4)=18°
所以∠CDF=180°-∠1=162°
∠EDB=90°+∠1=108°.

【分析】
(1) 首先根据对顶角定义：有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，可找出∠1的对顶角为∠GDF；再结合余角定义：和为90°的两个角互为余角，由∠ADC=90°可知∠1+∠2=90°，又因为∠1与∠GDF是对顶角，二者相等，所以∠2的余角是∠1和∠GDF。
(2) 已知∠1与∠2的度数比为1:4，且∠1+∠2=90°，可通过比例分配求出∠1的度数；再利用邻补角和为180°求出∠CDF，通过角的和差关系（∠EDB=∠ADC+∠1）求出∠EDB的度数。
【解析】
(1) 根据对顶角的定义，∠1的对顶角是$\boldsymbol{∠GDF}$；
因为$∠ADC=90°$，所以$∠1+∠2=90°$，又因为$∠1=∠GDF$（对顶角相等），所以$∠2$的余角有$\boldsymbol{∠1、∠GDF}$。
(2) 因为$∠1$与$∠2$的度数之比为$1:4$，且$∠1+∠2=90°$，
所以$∠1=90°×\frac{1}{1+4}=18°$，
因为$∠CDF$与$∠1$是邻补角，和为$180°$，
所以$∠CDF=180°-∠1=180°-18°=162°$；
$∠EDB=∠ADC+∠1=90°+18°=108°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠GDF}$；$\boldsymbol{∠1、∠GDF}$
(2) $\boldsymbol{∠CDF=162°}$，$\boldsymbol{∠EDB=108°}$
【知识点】
对顶角的定义，余角的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查角的基本概念和运算，解题核心是准确识别图形中角的位置关系，利用对顶角、余角、邻补角的定义及性质进行计算，需要熟练掌握相关概念并能结合图形分析角的数量关系。
【难度系数】
0.7

1. 如果 $ ∠ α $ 与 $ ∠ β $ 互补，且 $ ∠ α ＞ ∠ β $，则下列可以表示 $ ∠ β $ 的余角的式子中：
① $ ∠ α - 90° $；② $ 90° - ∠ β $；③ $ \frac{1}{2} (∠ α + ∠ β) $；④ $ \frac{1}{2} (∠ α - ∠ β) $.
正确的有.

1. ①②④

【分析】
首先根据互补的定义，由∠α与∠β互补可得∠α+∠β=180°，∠β的余角是指与∠β相加等于90°的角，即90°-∠β。接下来我们可以通过角度之间的等量关系，将每个式子转化，看是否等于90°-∠β：
1. 对于式子①，利用∠α=180°-∠β代入，可转化为90°-∠β，符合余角定义；
2. 式子②直接就是∠β余角的定义式，显然正确；
3. 式子③代入∠α+∠β=180°后得到90°，90°不是∠β的余角（除非∠β=0°，不符合实际角度情况），所以错误；
4. 式子④将∠α=180°-∠β代入，化简后得到90°-∠β，符合余角定义。
综上，正确的式子是①②④。
【解析】
已知∠α与∠β互补，根据补角定义可得：
∠α + ∠β = 180°，即∠α = 180° - ∠β。
∠β的余角为90° - ∠β，接下来逐一分析四个式子：
① ∠α - 90° = (180° - ∠β) - 90° = 90° - ∠β，符合∠β的余角定义，正确；
② 90° - ∠β，直接是∠β的余角，正确；
③ $\frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，90°与∠β的和为90°+∠β≠90°（∠β≠0°），不是∠β的余角，错误；
④ $\frac{1}{2}(∠α - ∠β) = \frac{1}{2}[(180° - ∠β) - ∠β] = \frac{1}{2}(180° - 2∠β) = 90° - ∠β$，符合∠β的余角定义，正确。
所以正确的式子是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
余角的定义、补角的定义、角度运算
【点评】
本题主要考查余角和补角的定义，需要通过角度间的互补关系进行代数转化，既考查了对基本概念的理解，也考验了简单的角度运算能力，解题时需注意逐一验证每个式子，避免遗漏或误判。
【难度系数】
0.6

2. 如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的 $ ∠ AOB $ 的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，如何测量？

2. 解:延长AO与BO得到∠AOB的对顶角∠COD
因为∠AOB=∠COD,
所以测出∠COD的度数,
即为∠AOB=∠COD.
　　　　　　　

【分析】
由于无法进入围墙直接测量∠AOB的度数，我们可以利用对顶角相等的性质，将不可直接测量的角转化为可测量的角。具体思路为：通过延长AO和BO，构造出∠AOB的对顶角，测量该对顶角的度数，即可得到∠AOB的度数。
【解析】
1. 延长AO与BO，得到∠AOB的对顶角∠COD；
2. 根据对顶角的性质，对顶角相等，可知∠AOB = ∠COD；
3. 测量∠COD的度数，该度数即为∠AOB的度数。
【答案】
解:延长AO与BO得到∠AOB的对顶角∠COD
因为∠AOB=∠COD,
所以测出∠COD的度数,
即为∠AOB=∠COD.
　　　　　　　
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题借助对顶角的性质解决实际测量问题，体现了转化思想在几何中的应用，将无法直接测量的角转化为可测量的角，考查了对基础几何性质的实际运用能力。
【难度系数】
0.8