21. （2023·泰州）如图，堤坝AB的长为10 m，坡度i为1∶0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔CD. 小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35'. 求堤坝高及山高DE（小明身高忽略不计，精确到1 m，参考数据：sin 26°35'≈0.45，cos 26°35'≈0.89，tan 26°35'≈0.50）.
　　

21. 如图，过点B作BH⊥AE于点H. ∵坡度i为1 : 0.75，∴设BH = 4x(x ＞ 0)m，则AH = 3x m. ∴在Rt△AHB中，AB = $\sqrt{AH^{2} + BH^{2}}$ = 5x m. ∴5x = 10，解得x = 2. ∴AH = 6 m，BH = 8 m. 过点B作BF⊥CE于点F，则四边形BHEF为矩形. ∴EF = BH = 8 m，BF = EH. 设DF = y m. ∵在Rt△BFD中，tanα = $\frac{DF}{BF}$，∴BF = $\frac{DF}{\tan26°35'}$ ≈ $\frac{y}{0.50}$ = 2y(m). ∴AE = (6 + 2y)m. ∵坡度i为1 : 0.75，∴CE : AE = (20 + y + 8) : (6 + 2y) = 1 : 0.75，解得y = 12. ∴DF = 12 m. ∴DE = DF + EF = 12 + 8 = 20(m). ∴堤坝高为8 m，山高DE约为20 m

22. （2024·大庆）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上. 连接CD交AB于点E，延长BD、CA交于点P，过点A作⊙O的切线，交BP于点G.
（1）求证：AG//CD；
（2）求证：PA² = PG·PB；
（3）若sin∠APD = $\frac{1}{3}$，求tan∠AGB的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

22. (1) ∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，∴AB⊥CD. ∴∠DEB = 90°. ∵AB为⊙O的直径，AG是⊙O的切线，∴AG⊥AB. ∴∠GAB = 90°. ∴∠DEB = ∠GAB. ∴AG//CD.
(2) 由(1)，得AG⊥AB，∴∠GAD + ∠BAD = 90°. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB = 90°. ∴∠BAD + ∠ABD = 90°. ∴∠ABD = ∠GAD. 由翻折，可得∠ABD = ∠ABC，∴∠DBC = 2∠ABD. ∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠DAC + ∠DBC = 180°. ∵∠DAC + ∠PAD = 180°，∴∠PAD = ∠DBC = 2∠ABD. ∴∠PAG = ∠PAD - ∠GAD = 2∠ABD - ∠ABD = ∠ABD. 又∵∠APG = ∠BPA，∴△APG∽△BPA. ∴$\frac{AP}{BP}$ = $\frac{PG}{PA}$，即PA² = PG·PB (3) ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB = ∠ADB = ∠ADP = 90°. ∴在△ADG中，∠AGB + ∠GAD = 90°. 由(2)，得∠GAD + ∠BAD = 90°，∴∠AGB = ∠BAD. 由sin∠APD = $\frac{AD}{AP}$ = $\frac{1}{3}$，设AD = a，则AP = 3a. ∴由勾股定理，得PD = $\sqrt{AP^{2} - AD^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$a. ∴tan∠APD = $\frac{AD}{PD}$ = $\frac{a}{2\sqrt{2}a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{4}$. 由翻折，可得AC = AD = a，BD = BC，∴PC = PA + AC = 3a + a = 4a. ∵在Rt△PCB中，tan∠CPB = $\frac{CB}{PC}$ = $\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴BD = BC = $\frac{\sqrt{2}}{4}$PC = $\sqrt{2}$a. ∴tan∠AGB = tan∠DAB = $\frac{BD}{AD}$ = $\frac{\sqrt{2}a}{a}$ = $\sqrt{2}$