阅读 如图，在四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁；再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂……如此进行下去得到四边形AₙBₙCₙDₙ. 求四边形AₙBₙCₙDₙ的面积.


求解这个问题，可以从具体的部分情况入手进行考察，从中探索和发现它们的规律，借助部分情况的规律，进而归纳成整体的一般性结论.

解：∵A₁、B₁、C₁、D₁分别是四边形ABCD各边的中点.
∴A₁B₁$\underline{\underline{// }}$$\frac{1}{2}$AC，C₁D₁$\underline{\underline{// }}$$\frac{1}{2}$AC.
∴△BA₁B₁∽△BAC，△DD₁C₁∽△DAC.
S$_{\triangle BA_{1}B_{1}}$=$\frac{1}{4}$S$_{\triangle BAC}$，S$_{\triangle DD_{1}C_{1}}$=$\frac{1}{4}$S$_{\triangle DAC}$.
∴S$_{\triangle BA_{1}B_{1}}$+S$_{\triangle DD_{1}C_{1}}$=$\frac{1}{4}$S$_{四边形ABCD}$.
同理，S$_{\triangle CB_{1}C_{1}}$+S$_{\triangle AA_{1}D_{1}}$=$\frac{1}{4}$S$_{四边形ABCD}$.
∴S$_{四边形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$=S$_{四边形ABCD}$-(S$_{\triangle BA_{1}B_{1}}$+S$_{\triangle AA_{1}D_{1}}$+S$_{\triangle CB_{1}C_{1}}$+S$_{\triangle DC_{1}D_{1}}$)=$\frac{1}{2}$S$_{四边形ABCD}$.
同理，S$_{四边形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}}$=$\frac{1}{2}$S$_{四边形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$，
$\vdots$
S$_{四边形A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}}$=$\frac{1}{2}$S$_{四边形A_{n - 1}B_{n - 1}C_{n - 1}D_{n - 1}}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$S$_{四边形A_{n - 2}B_{n - 2}C_{n - 2}D_{n - 2}}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×…×$\frac{1}{2}$S$_{四边形ABCD}$
=$\frac{1}{2^{n}}$S$_{四边形ABCD}$.
∵AC⊥BD，AC=a，BD=b，
∴S$_{四边形ABCD}$=$\frac{1}{2}$ab.
∴S$_{四边形A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}}$=$\frac{1}{2^{n + 1}}$ab.