【例 1】已知直角三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个直角三角形的第三边长为()

A.5
B.25
C.5 或 $\sqrt{7}$
D.12

[例1]C

【解析】
本题需分两种情况讨论：
1. 当3和4为直角三角形的两条直角边时，根据勾股定理，第三边长（斜边）为$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$；
2. 当4为斜边，3为直角边时，根据勾股定理，第三边长为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$。
因此，这个直角三角形的第三边长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略“4为斜边”的情况而漏解，解题时需根据直角三角形边长的不确定性进行分类讨论，考虑问题要全面。
【难度系数】
0.6

【例 2】如图，AD 是等边三角形 ABC 的中线，DF⊥AC 交 AB 的延长线于点 E，垂足为 F。
(1) 求证：BD = BE。
(2) 连接 CE，若 AC = 2，求 CE 的长度。

[例2](1)证明:因为△ABC是等边三角形,所以∠CAB=∠CBA=60°.因为DF⊥AC,所以∠AFE=∠CFE=90°,所以∠CAB+∠AEF=90°,所以∠AEF=30°.因为∠AEF+∠BDE=∠CBA,所以∠BDE=∠CBA−∠AEF=30°=∠AEF,所以BD=BE.
(2)解:CE=$\sqrt{7}$.

【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°。
∵DF⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∴∠CAB+∠AEF=90°，则∠AEF=30°。
∵∠CBA是△BDE的外角，
∴∠BDE=∠CBA - ∠AEF=60°-30°=30°，
∴∠BDE=∠AEF，
∴BD=BE。
(2) 解：
∵△ABC是等边三角形，AC=2，AD是中线，
∴BC=AC=2，BD=$\frac{1}{2}$BC=1，∠ABC=60°，
∴BE=BD=1，∠CBE=180°-∠ABC=120°。
过点C作CH⊥BE，交EB的延长线于H，
在Rt△BCH中，∠CBH=60°，BC=2，
∴BH=BC·cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，CH=BC·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴EH=BE+BH=1+1=2，
在Rt△CHE中，由勾股定理得：
CE=$\sqrt{CH^2+EH^2}$=$\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}$=$\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{\sqrt{7}}$
【知识点】
等边三角形性质，等腰三角形判定，勾股定理
【点评】
本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是利用角度关系推导等腰三角形，通过作辅助线构造直角三角形求解线段长度。
【难度系数】
0.6