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5. 一个长方形画卷的长是 $4.2×10^{4}cm$，宽是 $2×10^{4}cm$。求此长方形画卷的面积和周长。
答案
答题卡作答：
面积：
$S = \mathrm{长} × \mathrm{宽}$
$S = (4.2 × 10^{4}) × (2 × 10^{4})$
$S = 8.4 × 10^{8} \mathrm{cm}^{2}$
周长：
$C = 2 × (\mathrm{长} + \mathrm{宽})$
$C = 2 × (4.2 × 10^{4} + 2 × 10^{4})$
$C = 2 × 6.2 × 10^{4}$
$C = 1.24 × 10^{5} \mathrm{cm}$
结论：
面积： $8.4 × 10^{8} \mathrm{cm}^{2}$；
周长： $1.24 × 10^{5} \mathrm{cm}$。
面积：
$S = \mathrm{长} × \mathrm{宽}$
$S = (4.2 × 10^{4}) × (2 × 10^{4})$
$S = 8.4 × 10^{8} \mathrm{cm}^{2}$
周长：
$C = 2 × (\mathrm{长} + \mathrm{宽})$
$C = 2 × (4.2 × 10^{4} + 2 × 10^{4})$
$C = 2 × 6.2 × 10^{4}$
$C = 1.24 × 10^{5} \mathrm{cm}$
结论：
面积： $8.4 × 10^{8} \mathrm{cm}^{2}$；
周长： $1.24 × 10^{5} \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆长方形的面积和周长计算公式：面积=长×宽，周长=2×(长+宽)。然后将题目中用科学记数法表示的长和宽代入公式计算：
1. 计算面积时，利用乘法交换律和结合律，把系数与系数相乘，10的幂次与10的幂次相乘，再根据科学记数法的规则整理结果；
2. 计算周长时，先将长和宽中相同10的幂次的项合并系数，再乘以2，最后把结果转化为规范的科学记数法形式。
【解析】
计算面积：
根据长方形面积公式 $ S = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $，代入长和宽的数值：
$\begin{aligned}S&=(4.2 × 10^{4}) × (2 × 10^{4})\\&=(4.2×2)×(10^{4}×10^{4})\\&=8.4 × 10^{8} \ \mathrm{cm}^{2}\end{aligned}$
计算周长：
根据长方形周长公式 $ C = 2 × (\mathrm{长} + \mathrm{宽}) $，代入长和宽的数值：
$\begin{aligned}C&=2 × (4.2 × 10^{4} + 2 × 10^{4})\\&=2 × (4.2+2)×10^{4}\\&=2 × 6.2 × 10^{4}\\&=1.24 × 10^{5} \ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
面积为 $ 8.4 × 10^{8} \ \mathrm{cm}^{2} $，周长为 $ 1.24 × 10^{5} \ \mathrm{cm} $。
【知识点】
长方形面积周长公式、科学记数法运算
【点评】
本题主要考查长方形面积和周长公式的应用，以及科学记数法的运算规则。计算时需注意：同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项时，仅系数相加，指数保持不变，最终结果要符合科学记数法的规范形式（系数大于等于1且小于10）。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆长方形的面积和周长计算公式：面积=长×宽，周长=2×(长+宽)。然后将题目中用科学记数法表示的长和宽代入公式计算：
1. 计算面积时，利用乘法交换律和结合律，把系数与系数相乘，10的幂次与10的幂次相乘，再根据科学记数法的规则整理结果；
2. 计算周长时，先将长和宽中相同10的幂次的项合并系数，再乘以2，最后把结果转化为规范的科学记数法形式。
【解析】
计算面积：
根据长方形面积公式 $ S = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $，代入长和宽的数值：
$\begin{aligned}S&=(4.2 × 10^{4}) × (2 × 10^{4})\\&=(4.2×2)×(10^{4}×10^{4})\\&=8.4 × 10^{8} \ \mathrm{cm}^{2}\end{aligned}$
计算周长：
根据长方形周长公式 $ C = 2 × (\mathrm{长} + \mathrm{宽}) $，代入长和宽的数值：
$\begin{aligned}C&=2 × (4.2 × 10^{4} + 2 × 10^{4})\\&=2 × (4.2+2)×10^{4}\\&=2 × 6.2 × 10^{4}\\&=1.24 × 10^{5} \ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
面积为 $ 8.4 × 10^{8} \ \mathrm{cm}^{2} $，周长为 $ 1.24 × 10^{5} \ \mathrm{cm} $。
【知识点】
长方形面积周长公式、科学记数法运算
【点评】
本题主要考查长方形面积和周长公式的应用，以及科学记数法的运算规则。计算时需注意：同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项时，仅系数相加，指数保持不变，最终结果要符合科学记数法的规范形式（系数大于等于1且小于10）。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $x^{m} = 4$，$x^{n} = 64$（$m$，$n$ 是正整数），求 $x^{m + n}$ 的值。
答案
256
解析
根据同底数幂的乘法法则：$x^{m} · x^{n} = x^{m + n}$。
已知$x^{m} = 4$，$x^{n} = 64$，则$x^{m + n} = x^{m} · x^{n} = 4 × 64 = 256$。
已知$x^{m} = 4$，$x^{n} = 64$，则$x^{m + n} = x^{m} · x^{n} = 4 × 64 = 256$。
7. 我们发现 $a^{m}·a^{n}=\overbrace{(a·a·····a)}^{m个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{n个a}=\overbrace{a·a·····a}^{(m + n)个a}=a^{m + n}$，从而得到同底数幂的乘法运算性质。
（1）用两种方法计算 $a^{m}·a^{n}·a^{p}$（$m$，$n$，$p$ 是正整数）；
（2）尝试用符号表示若干个同底数幂相乘的运算性质。
（1）用两种方法计算 $a^{m}·a^{n}·a^{p}$（$m$，$n$，$p$ 是正整数）；
（2）尝试用符号表示若干个同底数幂相乘的运算性质。
答案
（1）方法一：$a^{m}·a^{n}·a^{p}=(a^{m}·a^{n})·a^{p}=a^{m+n}·a^{p}=a^{(m+n)+p}=a^{m+n+p}$；方法二：$a^{m}·a^{n}·a^{p}=\overbrace{(a·a·····a)}^{m个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{n个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{p个a}=\overbrace{a·a·····a}^{(m+n+p)个a}=a^{m+n+p}$。
（2）$a^{m_{1}}·a^{m_{2}}·…·a^{m_{k}}=a^{m_{1}+m_{2}+…+m_{k}}$（$k$是正整数，$m_{1},m_{2},…,m_{k}$是正整数）。
（2）$a^{m_{1}}·a^{m_{2}}·…·a^{m_{k}}=a^{m_{1}+m_{2}+…+m_{k}}$（$k$是正整数，$m_{1},m_{2},…,m_{k}$是正整数）。
解析
【分析】
对于（1），可以从两个方向思考：一是借助已学的同底数幂乘法性质，逐步结合计算，先算前两个幂的乘积，再与第三个幂相乘；二是回归幂的定义，将每个幂展开成若干个$a$相乘的形式，通过统计$a$的总个数得到结果。对于（2），通过（1）的特殊情况，归纳推广到多个同底数幂相乘的一般规律。
【解析】
（1）方法一：利用已有的同底数幂乘法性质逐步计算
$\begin{aligned}a^{m}·a^{n}·a^{p}&=(a^{m}·a^{n})·a^{p}\\&=a^{m+n}·a^{p}\\&=a^{(m+n)+p}\\&=a^{m+n+p}\end{aligned}$
方法二：根据幂的定义，将幂展开计算
$\begin{aligned}a^{m}·a^{n}·a^{p}&=\overbrace{(a·a·····a)}^{m个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{n个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{p个a}\\&=\overbrace{a·a·····a}^{(m+n+p)个a}\\&=a^{m+n+p}\end{aligned}$
（2）从三个同底数幂相乘的情况推广到若干个，可得运算性质：
$a^{m_{1}}·a^{m_{2}}·…·a^{m_{k}}=a^{m_{1}+m_{2}+…+m_{k}}$（$k$是正整数，$m_{1},m_{2},…,m_{k}$是正整数）
【答案】
（1）方法一：$a^{m}·a^{n}·a^{p}=(a^{m}·a^{n})·a^{p}=a^{m+n}·a^{p}=a^{m+n+p}$；
方法二：$a^{m}·a^{n}·a^{p}=\overbrace{(a·a·····a)}^{m个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{n个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{p个a}=\overbrace{a·a·····a}^{(m+n+p)个a}=a^{m+n+p}$；
（2）$a^{m_{1}}·a^{m_{2}}·…·a^{m_{k}}=a^{m_{1}+m_{2}+…+m_{k}}$（$k$是正整数，$m_{1},m_{2},…,m_{k}$是正整数）
【知识点】
同底数幂乘法，幂的定义，归纳推理
【点评】
本题通过两种思路推导三个同底数幂相乘的结果，既巩固了同底数幂乘法的基础性质，又从本质上理解了幂的意义，进而归纳出多个同底数幂相乘的运算规律，有助于培养从特殊到一般的数学思维。
【难度系数】
0.7
对于（1），可以从两个方向思考：一是借助已学的同底数幂乘法性质，逐步结合计算，先算前两个幂的乘积，再与第三个幂相乘；二是回归幂的定义，将每个幂展开成若干个$a$相乘的形式，通过统计$a$的总个数得到结果。对于（2），通过（1）的特殊情况，归纳推广到多个同底数幂相乘的一般规律。
【解析】
（1）方法一：利用已有的同底数幂乘法性质逐步计算
$\begin{aligned}a^{m}·a^{n}·a^{p}&=(a^{m}·a^{n})·a^{p}\\&=a^{m+n}·a^{p}\\&=a^{(m+n)+p}\\&=a^{m+n+p}\end{aligned}$
方法二：根据幂的定义，将幂展开计算
$\begin{aligned}a^{m}·a^{n}·a^{p}&=\overbrace{(a·a·····a)}^{m个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{n个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{p个a}\\&=\overbrace{a·a·····a}^{(m+n+p)个a}\\&=a^{m+n+p}\end{aligned}$
（2）从三个同底数幂相乘的情况推广到若干个，可得运算性质：
$a^{m_{1}}·a^{m_{2}}·…·a^{m_{k}}=a^{m_{1}+m_{2}+…+m_{k}}$（$k$是正整数，$m_{1},m_{2},…,m_{k}$是正整数）
【答案】
（1）方法一：$a^{m}·a^{n}·a^{p}=(a^{m}·a^{n})·a^{p}=a^{m+n}·a^{p}=a^{m+n+p}$；
方法二：$a^{m}·a^{n}·a^{p}=\overbrace{(a·a·····a)}^{m个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{n个a}·\overbrace{(a·a·····a)}^{p个a}=\overbrace{a·a·····a}^{(m+n+p)个a}=a^{m+n+p}$；
（2）$a^{m_{1}}·a^{m_{2}}·…·a^{m_{k}}=a^{m_{1}+m_{2}+…+m_{k}}$（$k$是正整数，$m_{1},m_{2},…,m_{k}$是正整数）
【知识点】
同底数幂乘法，幂的定义，归纳推理
【点评】
本题通过两种思路推导三个同底数幂相乘的结果，既巩固了同底数幂乘法的基础性质，又从本质上理解了幂的意义，进而归纳出多个同底数幂相乘的运算规律，有助于培养从特殊到一般的数学思维。
【难度系数】
0.7
