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8. 某种缨小蜂体长约为 $0.021cm$，质量只有约 $0.000005g$.
(1) 用科学记数法表示上述两个数据；
(2) 一个鸡蛋的质量大约是 $50g$，相当于多少只该种缨小蜂的质量（答案用科学记数法表示）？
(1) 用科学记数法表示上述两个数据；
(2) 一个鸡蛋的质量大约是 $50g$，相当于多少只该种缨小蜂的质量（答案用科学记数法表示）？
答案
(1)
$0.021 = 2.1×10^{-2}$；
$0.000005 = 5×10^{-6}$。
(2)
$50÷(5×10^{-6})$
$=50÷5÷10^{-6}$
$= 10÷10^{-6}$
$=1×10^{7}$（只）
答：(1) 缨小蜂体长的科学记数法为$2.1×10^{-2}cm$，质量的科学记数法为$5×10^{-6}g$；(2) 鸡蛋质量相当于$1×10^{7}$只该种缨小蜂的质量。
$0.021 = 2.1×10^{-2}$；
$0.000005 = 5×10^{-6}$。
(2)
$50÷(5×10^{-6})$
$=50÷5÷10^{-6}$
$= 10÷10^{-6}$
$=1×10^{7}$（只）
答：(1) 缨小蜂体长的科学记数法为$2.1×10^{-2}cm$，质量的科学记数法为$5×10^{-6}g$；(2) 鸡蛋质量相当于$1×10^{7}$只该种缨小蜂的质量。
解析
【分析】
(1) 用科学记数法表示小于1的正数时，需采用$a×10^{-n}$的形式（其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数，$n$的值等于原数左边第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前的零）。分别分析体长和质量的数值，确定对应的$a$和$n$即可完成表示。
(2) 要计算鸡蛋质量相当于多少只缨小蜂的质量，只需用鸡蛋的质量除以一只缨小蜂的质量。计算时可拆分运算，先计算系数的除法，再处理指数部分，最后将结果用科学记数法表示。
【解析】
(1) 根据科学记数法的规则：
$0.021$中左边第一个非零数字是2，它前面有2个零，因此$0.021 = 2.1×10^{-2}$；
$0.000005$中左边第一个非零数字是5，它前面有6个零，因此$0.000005 = 5×10^{-6}$。
(2) 计算鸡蛋对应的缨小蜂数量：
$\begin{aligned}50÷(5×10^{-6})&=50÷5÷10^{-6}\\&=10÷10^{-6}\\&=1×10^{7}（只）\end{aligned}$
答：(1) 缨小蜂体长的科学记数法表示为$2.1×10^{-2}cm$，质量的科学记数法表示为$5×10^{-6}g$；(2) 一个鸡蛋的质量相当于$1×10^{7}$只该种缨小蜂的质量。
【答案】
(1) 体长：$2.1×10^{-2}cm$，质量：$5×10^{-6}g$；
(2) $1×10^{7}$只。
【知识点】
科学记数法、有理数除法
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用及有理数除法运算，科学记数法可简洁表示极小数值，有理数除法能解决实际中的数量换算问题，属于基础题型，熟练掌握相关规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
(1) 用科学记数法表示小于1的正数时，需采用$a×10^{-n}$的形式（其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数，$n$的值等于原数左边第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前的零）。分别分析体长和质量的数值，确定对应的$a$和$n$即可完成表示。
(2) 要计算鸡蛋质量相当于多少只缨小蜂的质量，只需用鸡蛋的质量除以一只缨小蜂的质量。计算时可拆分运算，先计算系数的除法，再处理指数部分，最后将结果用科学记数法表示。
【解析】
(1) 根据科学记数法的规则：
$0.021$中左边第一个非零数字是2，它前面有2个零，因此$0.021 = 2.1×10^{-2}$；
$0.000005$中左边第一个非零数字是5，它前面有6个零，因此$0.000005 = 5×10^{-6}$。
(2) 计算鸡蛋对应的缨小蜂数量：
$\begin{aligned}50÷(5×10^{-6})&=50÷5÷10^{-6}\\&=10÷10^{-6}\\&=1×10^{7}（只）\end{aligned}$
答：(1) 缨小蜂体长的科学记数法表示为$2.1×10^{-2}cm$，质量的科学记数法表示为$5×10^{-6}g$；(2) 一个鸡蛋的质量相当于$1×10^{7}$只该种缨小蜂的质量。
【答案】
(1) 体长：$2.1×10^{-2}cm$，质量：$5×10^{-6}g$；
(2) $1×10^{7}$只。
【知识点】
科学记数法、有理数除法
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用及有理数除法运算，科学记数法可简洁表示极小数值，有理数除法能解决实际中的数量换算问题，属于基础题型，熟练掌握相关规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
9. 课本第 7 章“小结与思考”里有一段话：“幂的运算性质的适用范围扩展到整数指数幂后，可以发现同底数幂的乘法、除法法则本质上是一致的.”请尝试用同底数幂的乘法运算性质（$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，其中 $m$，$n$ 是整数）推导出同底数幂的除法运算性质.
答案
已知：同底数幂的乘法性质$a^m · a^n = a^{m + n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数），负整数指数幂定义$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$（$a ≠ 0$，$n$是整数）。
推导过程：
1. $a^m ÷ a^n = a^m · \frac{1}{a^n}$（除法转化为乘法）；
2. 由负整数指数幂定义，$\frac{1}{a^n} = a^{-n}$，故$a^m · \frac{1}{a^n} = a^m · a^{-n}$；
3. 由同底数幂乘法性质，$a^m · a^{-n} = a^{m + (-n)} = a^{m - n}$。
结论：$a^m ÷ a^n = a^{m - n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数）。
推导过程：
1. $a^m ÷ a^n = a^m · \frac{1}{a^n}$（除法转化为乘法）；
2. 由负整数指数幂定义，$\frac{1}{a^n} = a^{-n}$，故$a^m · \frac{1}{a^n} = a^m · a^{-n}$；
3. 由同底数幂乘法性质，$a^m · a^{-n} = a^{m + (-n)} = a^{m - n}$。
结论：$a^m ÷ a^n = a^{m - n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数）。
解析
【分析】
要推导同底数幂的除法运算性质，需借助已知的同底数幂乘法性质和负整数指数幂定义搭建桥梁。首先，除法可转化为乘法（除以一个数等于乘以它的倒数），这是将除法运算向已知乘法运算靠拢的关键；接着利用负整数指数幂定义，把倒数形式转化为幂的形式，就能运用同底数幂的乘法性质合并指数，最终推导出除法性质。具体思考步骤：
1. 明确已知依据：同底数幂的乘法性质$a^m · a^n = a^{m + n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），负整数指数幂定义$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为整数）；
2. 将除法转化为乘法：$a^m ÷ a^n = a^m · \frac{1}{a^n}$；
3. 用负整数指数幂替换倒数，将式子转化为同底数幂乘法形式；
4. 运用乘法性质合并指数，得到除法运算性质。
【解析】
已知：同底数幂的乘法性质$a^m · a^n = a^{m + n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数），负整数指数幂定义$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$（$a ≠ 0$，$n$是正整数）。
推导过程：
1. 根据除法与乘法的关系，除以一个数等于乘以它的倒数，可得：
$a^m ÷ a^n = a^m · \frac{1}{a^n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数）；
2. 由负整数指数幂的定义，$\frac{1}{a^n}=a^{-n}$（$a ≠ 0$，$n$是整数），代入上式得：
$a^m · \frac{1}{a^n} = a^m · a^{-n}$；
3. 运用同底数幂的乘法性质，对$a^m · a^{-n}$计算得：
$a^m · a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}$；
综上，推导出同底数幂的除法运算性质：$a^m ÷ a^n = a^{m - n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数）。
【答案】
$a^m ÷ a^n = a^{m - n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数）
【知识点】
同底数幂的乘法、负整数指数幂、同底数幂的除法
【点评】
本题体现了幂的运算性质之间的内在联系，通过转化思想将除法运算转化为已知的乘法运算进行推导，帮助理解幂的运算扩展到整数指数后的统一性，提升知识迁移与逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
要推导同底数幂的除法运算性质，需借助已知的同底数幂乘法性质和负整数指数幂定义搭建桥梁。首先，除法可转化为乘法（除以一个数等于乘以它的倒数），这是将除法运算向已知乘法运算靠拢的关键；接着利用负整数指数幂定义，把倒数形式转化为幂的形式，就能运用同底数幂的乘法性质合并指数，最终推导出除法性质。具体思考步骤：
1. 明确已知依据：同底数幂的乘法性质$a^m · a^n = a^{m + n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），负整数指数幂定义$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为整数）；
2. 将除法转化为乘法：$a^m ÷ a^n = a^m · \frac{1}{a^n}$；
3. 用负整数指数幂替换倒数，将式子转化为同底数幂乘法形式；
4. 运用乘法性质合并指数，得到除法运算性质。
【解析】
已知：同底数幂的乘法性质$a^m · a^n = a^{m + n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数），负整数指数幂定义$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$（$a ≠ 0$，$n$是正整数）。
推导过程：
1. 根据除法与乘法的关系，除以一个数等于乘以它的倒数，可得：
$a^m ÷ a^n = a^m · \frac{1}{a^n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数）；
2. 由负整数指数幂的定义，$\frac{1}{a^n}=a^{-n}$（$a ≠ 0$，$n$是整数），代入上式得：
$a^m · \frac{1}{a^n} = a^m · a^{-n}$；
3. 运用同底数幂的乘法性质，对$a^m · a^{-n}$计算得：
$a^m · a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}$；
综上，推导出同底数幂的除法运算性质：$a^m ÷ a^n = a^{m - n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数）。
【答案】
$a^m ÷ a^n = a^{m - n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是整数）
【知识点】
同底数幂的乘法、负整数指数幂、同底数幂的除法
【点评】
本题体现了幂的运算性质之间的内在联系，通过转化思想将除法运算转化为已知的乘法运算进行推导，帮助理解幂的运算扩展到整数指数后的统一性，提升知识迁移与逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
