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10. 如图，直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE $ 平分 $ ∠ BOD $，$ ∠ AOD - ∠ DOB = 72° $.求 $ ∠ AOC $ 和 $ ∠ DOE $ 的度数.
答案
10. ∠AOC=∠BOD=54°，
∠DOE=$\frac{1}{2}$∠DOB=27°.
∠DOE=$\frac{1}{2}$∠DOB=27°.
解析
【解析】
因为直线$AB$，$CD$相交于点$O$，所以$∠ AOD + ∠ DOB = 180°$（邻补角的定义）。
结合已知$∠ AOD - ∠ DOB = 72°$，联立方程组：
$\begin{cases}∠ AOD + ∠ DOB = 180° \\∠ AOD - ∠ DOB = 72°\end{cases}$
解得$∠ DOB = 54°$。
根据对顶角相等，可得$∠ AOC = ∠ BOD = 54°$。
因为$OE$平分$∠ BOD$，所以$∠ DOE = \frac{1}{2}∠ DOB = \frac{1}{2} × 54° = 27°$。
【答案】
$∠ AOC = 54°$，$∠ DOE = 27°$
【知识点】
邻补角的性质，对顶角相等，角平分线的定义
【点评】
本题考查邻补角、对顶角的性质及角平分线的定义，通过联立方程求解角度，属于基础角度计算问题，需熟练运用相关几何性质进行推导。
【难度系数】
0.8
因为直线$AB$，$CD$相交于点$O$，所以$∠ AOD + ∠ DOB = 180°$（邻补角的定义）。
结合已知$∠ AOD - ∠ DOB = 72°$，联立方程组：
$\begin{cases}∠ AOD + ∠ DOB = 180° \\∠ AOD - ∠ DOB = 72°\end{cases}$
解得$∠ DOB = 54°$。
根据对顶角相等，可得$∠ AOC = ∠ BOD = 54°$。
因为$OE$平分$∠ BOD$，所以$∠ DOE = \frac{1}{2}∠ DOB = \frac{1}{2} × 54° = 27°$。
【答案】
$∠ AOC = 54°$，$∠ DOE = 27°$
【知识点】
邻补角的性质，对顶角相等，角平分线的定义
【点评】
本题考查邻补角、对顶角的性质及角平分线的定义，通过联立方程求解角度，属于基础角度计算问题，需熟练运用相关几何性质进行推导。
【难度系数】
0.8
11. 如图，直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，射线 $ OE $ 将 $ ∠ AOD $ 分成两个角，$ ∠ EOC : ∠ EOD = 1 : 2 $，$ ∠ BOD = 30° $则 $ ∠ AOC $ 与 $ ∠ AOE $ 的大小关系是
相等
.答案
11. 相等
解析
【解析】
因为直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$∠BOD=30°$，根据对顶角相等，得$∠AOC=∠BOD=30°$。
由邻补角定义，$∠AOD=180°-∠BOD=180°-30°=150°$。
因为$∠EOC:∠EOD=1:2$，且$∠EOC+∠EOD=180°$（平角定义），所以$∠EOD=\frac{2}{3}×180°=120°$。
则$∠AOE=∠AOD-∠EOD=150°-120°=30°$。
因此$∠AOC=∠AOE$，即二者相等。
【答案】
相等
【知识点】
对顶角相等，邻补角定义，角的比例运算
【点评】
本题考查对顶角、邻补角的性质及角的比例运算，需利用对顶角相等求出$∠AOC$，结合平角定义与角的比例关系求出$∠AOE$，进而比较二者大小，熟练掌握角的基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.6
因为直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$∠BOD=30°$，根据对顶角相等，得$∠AOC=∠BOD=30°$。
由邻补角定义，$∠AOD=180°-∠BOD=180°-30°=150°$。
因为$∠EOC:∠EOD=1:2$，且$∠EOC+∠EOD=180°$（平角定义），所以$∠EOD=\frac{2}{3}×180°=120°$。
则$∠AOE=∠AOD-∠EOD=150°-120°=30°$。
因此$∠AOC=∠AOE$，即二者相等。
【答案】
相等
【知识点】
对顶角相等，邻补角定义，角的比例运算
【点评】
本题考查对顶角、邻补角的性质及角的比例运算，需利用对顶角相等求出$∠AOC$，结合平角定义与角的比例关系求出$∠AOE$，进而比较二者大小，熟练掌握角的基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.6
12. 如图，直线 $ a $，$ b $，$ c $ 相交于点 $ O $，$ ∠ 1 = 2 ∠ 2 $，$ ∠ 3 - ∠ 1 = 30° $，则 $ ∠ 4 $ 的度数是
30°
.答案
12. 30°
解析
【解析】
根据平角的定义，$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$，
已知$∠ 1=2∠ 2$，$∠ 3=∠ 1+30°$，将其代入得：
$2∠ 2 + ∠ 2 + (2∠ 2 + 30°)=180°$，
整理得$5∠ 2=150°$，解得$∠ 2=30°$，
根据对顶角相等，$∠ 4=∠ 2=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
平角的定义，对顶角相等，角度计算
【点评】
本题考查平角和对顶角的性质，通过建立方程求解角度，关键是利用平角关系转化已知条件。
【难度系数】
0.6
根据平角的定义，$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$，
已知$∠ 1=2∠ 2$，$∠ 3=∠ 1+30°$，将其代入得：
$2∠ 2 + ∠ 2 + (2∠ 2 + 30°)=180°$，
整理得$5∠ 2=150°$，解得$∠ 2=30°$，
根据对顶角相等，$∠ 4=∠ 2=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
平角的定义，对顶角相等，角度计算
【点评】
本题考查平角和对顶角的性质，通过建立方程求解角度，关键是利用平角关系转化已知条件。
【难度系数】
0.6
13. 如图，直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE $ 分 $ ∠ AOD $ 成两个角，$ ∠ AOE : ∠ EOD = 2 : 6 $，$ ∠ BOD - ∠ BOC = 20° $，求 $ ∠ AOE $ 的度数.
答案
13. 解：由邻补角的定义，得∠BOC+∠BOD=180°①，
∠BOD−∠BOC=20°②，
①−②得 2∠BOC=160°，
解得∠BOC=80°，
∴∠AOD=∠BOC=80°，
∵∠AOE:∠EOD=2:6，
∴∠EOD=3∠AOE，
∵∠AOE+∠EOD=∠AOD，
∴∠AOE+3∠AOE=80°，
∴∠AOE=20°.
∠BOD−∠BOC=20°②，
①−②得 2∠BOC=160°，
解得∠BOC=80°，
∴∠AOD=∠BOC=80°，
∵∠AOE:∠EOD=2:6，
∴∠EOD=3∠AOE，
∵∠AOE+∠EOD=∠AOD，
∴∠AOE+3∠AOE=80°，
∴∠AOE=20°.
解析
【解析】
解：由邻补角的定义，得$∠BOC+∠BOD=180°$①，
$∠BOD−∠BOC=20°$②，
①−②得 $2∠BOC=160°$，
解得$∠BOC=80°$，
根据对顶角相等，得$∠AOD=∠BOC=80°$，
∵$∠AOE:∠EOD=2:6$，
∴$∠EOD=3∠AOE$，
又
∵$∠AOE+∠EOD=∠AOD$，
∴$∠AOE+3∠AOE=80°$，
解得$∠AOE=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
邻补角的性质、对顶角相等、角的比例计算
【点评】
本题考查邻补角与对顶角的性质，运用方程思想求解角的度数，同时结合角的比例关系进行计算，提升了对角度计算的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解：由邻补角的定义，得$∠BOC+∠BOD=180°$①，
$∠BOD−∠BOC=20°$②，
①−②得 $2∠BOC=160°$，
解得$∠BOC=80°$，
根据对顶角相等，得$∠AOD=∠BOC=80°$，
∵$∠AOE:∠EOD=2:6$，
∴$∠EOD=3∠AOE$，
又
∵$∠AOE+∠EOD=∠AOD$，
∴$∠AOE+3∠AOE=80°$，
解得$∠AOE=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
邻补角的性质、对顶角相等、角的比例计算
【点评】
本题考查邻补角与对顶角的性质，运用方程思想求解角的度数，同时结合角的比例关系进行计算，提升了对角度计算的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
