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1. 两组对边分别的四边形是平行四边形.
2. 两组对角分别的四边形是平行四边形.
3. 对角线互相的四边形是平行四边形.
思考 平行四边形的定义也是判别方法吗？你知道多少种判定平行四边形的方法？在下面的判断中各补充一个条件，使命题成立.
(1)如图1,在四边形ABCD中,若AB//CD,,则四边形ABCD是平行四边形.
(2)如图1,在四边形ABCD中,若∠B=∠D,,则四边形ABCD是平行四边形.
(3)如图2,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,若AO=CO,,则四边形ABCD是平行四边形.
2. 两组对角分别的四边形是平行四边形.
3. 对角线互相的四边形是平行四边形.
思考 平行四边形的定义也是判别方法吗？你知道多少种判定平行四边形的方法？在下面的判断中各补充一个条件，使命题成立.
(1)如图1,在四边形ABCD中,若AB//CD,,则四边形ABCD是平行四边形.
(2)如图1,在四边形ABCD中,若∠B=∠D,,则四边形ABCD是平行四边形.
(3)如图2,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,若AO=CO,,则四边形ABCD是平行四边形.
答案
1. 平行；
2. 相等；
3. 平分；
思考中：
(1) $AB = CD$；
(2) $∠ A=∠ C$；
(3) $BO = DO$。
2. 相等；
3. 平分；
思考中：
(1) $AB = CD$；
(2) $∠ A=∠ C$；
(3) $BO = DO$。
解析
1. 根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形判定定理之一。
3. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，这也是平行四边形判定定理之一。
思考：平行四边形的定义也是判别方法，因为满足两组对边分别平行这一条件就可判定为平行四边形。判定平行四边形的方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(1) 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，已知$AB// CD$，补充$AB = CD$，则四边形$ABCD$是平行四边形。
(2) 已知$∠ B=∠ D$，因为四边形内角和为$360^{\circ}$，若$∠ A=∠ C$，那么$∠ A + ∠ B=180^{\circ}$，$AD// BC$，同理$AB// CD$，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
(3) 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，已知$AO = CO$，补充$BO = DO$，则四边形$ABCD$是平行四边形。
2. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形判定定理之一。
3. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，这也是平行四边形判定定理之一。
思考：平行四边形的定义也是判别方法，因为满足两组对边分别平行这一条件就可判定为平行四边形。判定平行四边形的方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(1) 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，已知$AB// CD$，补充$AB = CD$，则四边形$ABCD$是平行四边形。
(2) 已知$∠ B=∠ D$，因为四边形内角和为$360^{\circ}$，若$∠ A=∠ C$，那么$∠ A + ∠ B=180^{\circ}$，$AD// BC$，同理$AB// CD$，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
(3) 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，已知$AO = CO$，补充$BO = DO$，则四边形$ABCD$是平行四边形。
例1 如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE//AC,CE//BD,若AC=3,BD=5,求四边形OCED的周长.
答案
∵$DE// AC，CE// BD$，
∴四边形$OCED$是平行四边形，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}，OD=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$，
∴四边形$OCED$的周长为：
$2×(\frac{3}{2}+\frac{5}{2})=2×4=8$。
所以，四边形$OCED$的周长为8。
∴四边形$OCED$是平行四边形，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}，OD=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$，
∴四边形$OCED$的周长为：
$2×(\frac{3}{2}+\frac{5}{2})=2×4=8$。
所以，四边形$OCED$的周长为8。
变式训练 如图,四边形ABCD中,AD=4,DO=OB=3,AC=10,∠ADB=90°.求BC的长和四边形ABCD的面积.
答案
【解析】：在Rt△ADO中，∠ADB=90°，AD=4，DO=3，由勾股定理得AO=√(AD²+DO²)=√(4²+3²)=5。
∵AC=10，
∴OC=AC-AO=5，即AO=OC。又
∵DO=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∴BC=AD=4。BD=DO+OB=6，S▱ABCD=AD×BD=4×6=24。
【答案】：BC的长为4，四边形ABCD的面积为24
∵AC=10，
∴OC=AC-AO=5，即AO=OC。又
∵DO=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∴BC=AD=4。BD=DO+OB=6，S▱ABCD=AD×BD=4×6=24。
【答案】：BC的长为4，四边形ABCD的面积为24
解析
在Rt△ADO中，∠ADB=90°，AD=4，DO=3，由勾股定理得AO=√(AD²+DO²)=√(4²+3²)=5。∵AC=10，∴OC=AC-AO=5，即AO=OC。又∵DO=OB，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。∴BC=AD=4。BD=DO+OB=6，S▱ABCD=AD×BD=4×6=24。
例2 如图,在□ABCD中,E是AD的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F,连接BD,AF.求证:四边形ABDF是平行四边形.
答案
证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AB// CD$，
所以$∠ ABE = ∠ F$（两直线平行，内错角相等），
因为$E$是$AD$的中点，
所以$AE = DE$，
在$△ AEB$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} ∠ ABE = ∠ F \\ ∠ AEB = ∠ DEF \\ AE = DE \end{cases}$
根据$AAS$（角角边）定理，
所以$△ AEB ≌ △ DEF$，
所以$AB = DF$，
又因为$AB// DF$，
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
所以四边形$ABDF$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AB// CD$，
所以$∠ ABE = ∠ F$（两直线平行，内错角相等），
因为$E$是$AD$的中点，
所以$AE = DE$，
在$△ AEB$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} ∠ ABE = ∠ F \\ ∠ AEB = ∠ DEF \\ AE = DE \end{cases}$
根据$AAS$（角角边）定理，
所以$△ AEB ≌ △ DEF$，
所以$AB = DF$，
又因为$AB// DF$，
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
所以四边形$ABDF$是平行四边形。
变式训练 如图,在□ABCD中,E,F是对角线AC上的点,且AE=CF,四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由.
答案
【解析】：连接BD交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF。
∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形。
【答案】：是
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF。
∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形。
【答案】：是
解析
连接BD交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF。
∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF。
∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形。
