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重难点 1 三角形的内角和
【典例 1】在$△ ABC$中，$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，则$△ ABC$为（ C ）三角形。
A. 锐角
B. 钝角
C. 直角
D. 等腰
解析：$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，
$\therefore$可以假设$∠ A=x^{\circ}$，$∠ B=2x^{\circ}$，$∠ C=3x^{\circ}$。
由题意，得$x + 2x + 3x = 180$，
$\therefore x = 30$，
$\therefore ∠ A = 30^{\circ}$，$∠ B = 60^{\circ}$，$∠ C = 90^{\circ}$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，故选 C。
【典例 1】在$△ ABC$中，$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，则$△ ABC$为（ C ）三角形。
A. 锐角
B. 钝角
C. 直角
D. 等腰
解析：$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，
$\therefore$可以假设$∠ A=x^{\circ}$，$∠ B=2x^{\circ}$，$∠ C=3x^{\circ}$。
由题意，得$x + 2x + 3x = 180$，
$\therefore x = 30$，
$\therefore ∠ A = 30^{\circ}$，$∠ B = 60^{\circ}$，$∠ C = 90^{\circ}$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，故选 C。
答案
C
解析
设$∠ A=x^{\circ}$，因为$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，所以$∠ B = 2x^{\circ}$，$∠ C=3x^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$x + 2x+3x=180$，
即$6x = 180$，解得$x = 30$。
则$∠ C=3x = 90^{\circ}$，所以$△ABC$是直角三角形。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$x + 2x+3x=180$，
即$6x = 180$，解得$x = 30$。
则$∠ C=3x = 90^{\circ}$，所以$△ABC$是直角三角形。
【对点训练】
1. 已知在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的度数之比为$1:2:3$，则这个三角形是()
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
1. 已知在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的度数之比为$1:2:3$，则这个三角形是()
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
答案
A
解析
设$∠ A = x$，因为$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的度数之比为$1:2:3$，则$∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$x + 2x+3x = 180^{\circ}$，即$6x = 180^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$。
所以$∠ C = 3x = 90^{\circ}$，有一个角是$90^{\circ}$的三角形是直角三角形。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$x + 2x+3x = 180^{\circ}$，即$6x = 180^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$。
所以$∠ C = 3x = 90^{\circ}$，有一个角是$90^{\circ}$的三角形是直角三角形。
重难点 2 三角形外角的性质
【典例 2】如图，点$D$是$△ ABC$边$BC$延长线上的一点，$∠ A = 75^{\circ}$，$∠ ACD = 105^{\circ}$，则$∠ B =$（ A ）
A. $30^{\circ}$
B. $35^{\circ}$
C. $40^{\circ}$
D. $45^{\circ}$
解析：$\because ∠ A = 75^{\circ}$，$∠ ACD = 105^{\circ}$，
$\therefore ∠ B = ∠ ACD - ∠ A = 105^{\circ} - 75^{\circ} = 30^{\circ}$。故选 A。
【典例 2】如图，点$D$是$△ ABC$边$BC$延长线上的一点，$∠ A = 75^{\circ}$，$∠ ACD = 105^{\circ}$，则$∠ B =$（ A ）
A. $30^{\circ}$
B. $35^{\circ}$
C. $40^{\circ}$
D. $45^{\circ}$
解析：$\because ∠ A = 75^{\circ}$，$∠ ACD = 105^{\circ}$，
$\therefore ∠ B = ∠ ACD - ∠ A = 105^{\circ} - 75^{\circ} = 30^{\circ}$。故选 A。
答案
A
解析
根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。在图中，$∠ ACD$ 是三角形 $△ ABC$ 的外角，因此有：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
已知 $∠ A = 75°$ 和 $∠ ACD = 105°$，代入上式得：
$105° = 75° + ∠ B$
解这个方程，得到：
$∠ B = 105° - 75° = 30°$
所以，$∠ B = 30°$。
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
已知 $∠ A = 75°$ 和 $∠ ACD = 105°$，代入上式得：
$105° = 75° + ∠ B$
解这个方程，得到：
$∠ B = 105° - 75° = 30°$
所以，$∠ B = 30°$。
【对点训练】
2. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$在射线$BA$上，则$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ B$之间的大小关系为()
A. $∠ 1 ＜ ∠ 2 ＜ ∠ B$
B. $∠ B ＜ ∠ 2 ＜ ∠ 1$
C. $∠ 1 ＜ ∠ B ＜ ∠ 2$
D. $∠ B ＜ ∠ 1 ＜ ∠ 2$
2. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$在射线$BA$上，则$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ B$之间的大小关系为()
A. $∠ 1 ＜ ∠ 2 ＜ ∠ B$
B. $∠ B ＜ ∠ 2 ＜ ∠ 1$
C. $∠ 1 ＜ ∠ B ＜ ∠ 2$
D. $∠ B ＜ ∠ 1 ＜ ∠ 2$
答案
D
解析
在△BCD中，∠1是外角，∠B是内角，所以∠1＞∠B；在△ACD中，∠2是外角，∠1是内角，所以∠2＞∠1；综上，∠B＜∠1＜∠2。
基础巩固
1. 在$△ ABC$中，$∠ A = 45^{\circ}$，$∠ B = 60^{\circ}$，$∠ C =$()
A. $75^{\circ}$
B. $105^{\circ}$
C. $55^{\circ}$
D. $65^{\circ}$
2. 如图，直线$AB // CD$，连接$BC$，点$E$是$BC$上一点，$∠ A = 15^{\circ}$，$∠ C = 27^{\circ}$，则$∠ AEC$的度数为()
A. $27^{\circ}$
B. $42^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $70^{\circ}$
3. 已知三角形的三个外角的度数比为$2:3:4$，则它的最大内角的度数为()
A. $90^{\circ}$
B. $110^{\circ}$
C. $100^{\circ}$
D. $120^{\circ}$
4. 如图，点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$是平面上的$6$个点，则$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F$的度数是()
A. $180^{\circ}$
B. $360^{\circ}$
C. $540^{\circ}$
D. $720^{\circ}$
5. 如图，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$CE$是$△ ABC$的高，$∠ BAC = 60^{\circ}$，$∠ ACB = 78^{\circ}$，点$F$为边$AB$上一点，当$△ BDF$为直角三角形时，则$∠ ADF$的度数为。
6. 如图，延长$CB$到$D$，延长$BC$到$E$，$∠ A = 80^{\circ}$，$∠ ACE = 140^{\circ}$，求$∠ 1$的度数。
7. 如图，$△ ABC$的内角$∠ ABC$平分线与它的外角$∠ ACD$平分线交于点$P$。
(1)若$∠ A = 60^{\circ}$，$∠ ABC = 48^{\circ}$，求$∠ P$的度数；
(2)猜想$∠ P$与$∠ A$的数量关系，并予以证明。
1. 在$△ ABC$中，$∠ A = 45^{\circ}$，$∠ B = 60^{\circ}$，$∠ C =$()
A. $75^{\circ}$
B. $105^{\circ}$
C. $55^{\circ}$
D. $65^{\circ}$
2. 如图，直线$AB // CD$，连接$BC$，点$E$是$BC$上一点，$∠ A = 15^{\circ}$，$∠ C = 27^{\circ}$，则$∠ AEC$的度数为()
A. $27^{\circ}$
B. $42^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $70^{\circ}$
3. 已知三角形的三个外角的度数比为$2:3:4$，则它的最大内角的度数为()
A. $90^{\circ}$
B. $110^{\circ}$
C. $100^{\circ}$
D. $120^{\circ}$
4. 如图，点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$是平面上的$6$个点，则$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F$的度数是()
A. $180^{\circ}$
B. $360^{\circ}$
C. $540^{\circ}$
D. $720^{\circ}$
5. 如图，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$CE$是$△ ABC$的高，$∠ BAC = 60^{\circ}$，$∠ ACB = 78^{\circ}$，点$F$为边$AB$上一点，当$△ BDF$为直角三角形时，则$∠ ADF$的度数为。
6. 如图，延长$CB$到$D$，延长$BC$到$E$，$∠ A = 80^{\circ}$，$∠ ACE = 140^{\circ}$，求$∠ 1$的度数。
7. 如图，$△ ABC$的内角$∠ ABC$平分线与它的外角$∠ ACD$平分线交于点$P$。
(1)若$∠ A = 60^{\circ}$，$∠ ABC = 48^{\circ}$，求$∠ P$的度数；
(2)猜想$∠ P$与$∠ A$的数量关系，并予以证明。
答案
1. A
2. B
3. C
4. B
5. 18°或60°
6. 120°
7. (1)30°；(2)∠P=1/2∠A
2. B
3. C
4. B
5. 18°或60°
6. 120°
7. (1)30°；(2)∠P=1/2∠A
解析
1. 根据三角形内角和定理，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。
2. 过E作EF//AB，因AB//CD，故EF//CD，∠AEF=∠A=15°，∠FEC=∠C=27°，∠AEC=15°+27°=42°。
3. 设外角为2x,3x,4x，2x+3x+4x=360°，x=40°，外角为80°,120°,160°，内角为100°,60°,20°，最大内角100°。
4. 利用三角形外角性质，将六个角转化为四边形内角和，总和为360°。
5. ∠B=42°，AD平分∠BAC得∠BAD=30°，∠ADB=108°。△BDF为直角三角形分两种情况：①∠BFD=90°时，∠BDF=48°，∠ADF=108°-48°=60°；②∠BDF=90°时，∠ADF=108°-90°=18°。
6. ∠ACB=180°-∠ACE=40°，∠ABC=180°-∠A-∠ACB=60°，∠1=180°-∠ABC=120°。
7. (1)∠PBC=24°，∠ACD=108°，∠PCD=54°，∠P=∠PCD-∠PBC=30°；(2)设∠ABC=2x，∠PCD=(∠A+2x)/2，∠P=∠PCD-∠PBC=∠A/2。
2. 过E作EF//AB，因AB//CD，故EF//CD，∠AEF=∠A=15°，∠FEC=∠C=27°，∠AEC=15°+27°=42°。
3. 设外角为2x,3x,4x，2x+3x+4x=360°，x=40°，外角为80°,120°,160°，内角为100°,60°,20°，最大内角100°。
4. 利用三角形外角性质，将六个角转化为四边形内角和，总和为360°。
5. ∠B=42°，AD平分∠BAC得∠BAD=30°，∠ADB=108°。△BDF为直角三角形分两种情况：①∠BFD=90°时，∠BDF=48°，∠ADF=108°-48°=60°；②∠BDF=90°时，∠ADF=108°-90°=18°。
6. ∠ACB=180°-∠ACE=40°，∠ABC=180°-∠A-∠ACB=60°，∠1=180°-∠ABC=120°。
7. (1)∠PBC=24°，∠ACD=108°，∠PCD=54°，∠P=∠PCD-∠PBC=30°；(2)设∠ABC=2x，∠PCD=(∠A+2x)/2，∠P=∠PCD-∠PBC=∠A/2。
