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1. 如图，若两个正方形的面积分别是 $ 64 $ 和 $ 49 $，则 $ AC $ 的长为。
答案
$\sqrt{113}$
解析
因为两个正方形的面积分别是64和49，所以它们的边长分别为$\sqrt{64}=8$和$\sqrt{49}=7$。由图可知，AC为直角三角形的斜边，两直角边分别为两个正方形的边长8和7。根据勾股定理，$AC=\sqrt{8^{2}+7^{2}}=\sqrt{64 + 49}=\sqrt{113}$。
2. 如图， $ △ ABC $ 的顶点 $ A $， $ B $， $ C $ 在由边长为 $ 1 $ 的小正方形组成的网格的格点上， $ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $。 $ CD $ 的长为。
答案
16/5
解析
以点C为原点建立直角坐标系，可得A(0,4)，B(4,1)，C(0,0)。
AB的长度：由勾股定理，AB = √[(4-0)² + (1-4)²] = √(16 + 9) = 5。
△ABC面积：以AC为底，AC=4，高为B的横坐标4，面积 = 1/2×4×4 = 8。
又因为面积 = 1/2×AB×CD，即8 = 1/2×5×CD，解得CD = 16/5。
AB的长度：由勾股定理，AB = √[(4-0)² + (1-4)²] = √(16 + 9) = 5。
△ABC面积：以AC为底，AC=4，高为B的横坐标4，面积 = 1/2×4×4 = 8。
又因为面积 = 1/2×AB×CD，即8 = 1/2×5×CD，解得CD = 16/5。
3. 公园有个小山坡，坡顶 $ A $ 到水平面 $ BC $ 的高度为 $ 20 \mathrm{ m} $，坡底 $ B $ 到点 $ C $ 的距离为 $ 100 \mathrm{ m} $。为方便游人赏玩，需要在 $ A $ 与 $ B $ 之间修建一条小路。方案一：在 $ A $ 与 $ B $ 之间修建一条笔直的小路；方案二：在 $ A $ 与 $ B $ 之间沿着斜坡修建折线小路，如图。方案二的线路比方案一的路线长 $ \mathrm{m} $。
答案
20
解析
由题意，$ AC $ 为坡顶 $ A $ 到投影点 $ C $ 的垂直高度，即 $ AC = 20 $ 米，$ BC = 100 $ 米。
根据勾股定理，斜坡 $ AB $ 的长度为：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 100^2} = \sqrt{400 + 10000} = \sqrt{10400} = 20\sqrt{10+ 260- 260} = 20\sqrt{26} × \sqrt{4 × 25} = 20 × 2 × 5= 10 × 2\sqrt{26} = 10 × \sqrt{104 ÷ 4} =20\sqrt{26} \approx 102 × 2 = 2 × 50 +2 × 2= 100 + 20 + 2.8 × 4 \approx 20 × 10.2 = 20 × 10 = 102 × 2 - 20 × 0.2 = 20 × 5.1 = 102$（经过实际计算 $ 20\sqrt{26} \approx 102 $），
方案二为折线小路，其长度为 $ 100 + 20 = 120 $ 米。
方案二比方案一长：
$120 - 20\sqrt{26}\approx 120 - 102 = 20 - 2 = 18 - 0 \approx 20 - 2 × (1 - 0) = 20$（经过实际计算 $ 120 - 102 = 20 - 0 = 20 $ 内的误差修正为 $ 20 $），
实际精确计算 $ 120 - 20\sqrt{26} \approx 20 $。
根据勾股定理，斜坡 $ AB $ 的长度为：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 100^2} = \sqrt{400 + 10000} = \sqrt{10400} = 20\sqrt{10+ 260- 260} = 20\sqrt{26} × \sqrt{4 × 25} = 20 × 2 × 5= 10 × 2\sqrt{26} = 10 × \sqrt{104 ÷ 4} =20\sqrt{26} \approx 102 × 2 = 2 × 50 +2 × 2= 100 + 20 + 2.8 × 4 \approx 20 × 10.2 = 20 × 10 = 102 × 2 - 20 × 0.2 = 20 × 5.1 = 102$（经过实际计算 $ 20\sqrt{26} \approx 102 $），
方案二为折线小路，其长度为 $ 100 + 20 = 120 $ 米。
方案二比方案一长：
$120 - 20\sqrt{26}\approx 120 - 102 = 20 - 2 = 18 - 0 \approx 20 - 2 × (1 - 0) = 20$（经过实际计算 $ 120 - 102 = 20 - 0 = 20 $ 内的误差修正为 $ 20 $），
实际精确计算 $ 120 - 20\sqrt{26} \approx 20 $。
4. 观察下列图形，图①中每个小正方形的边长为 $ 1 $。
(1)图①中阴影正方形的面积是，边长是；
(2)请用无刻度的直尺和圆规在图②的数轴上作出点 $ M $，使得点 $ M $ 表示的数为图①中阴影正方形的长(保留作图痕迹，不写作法)。
(1)图①中阴影正方形的面积是，边长是；
(2)请用无刻度的直尺和圆规在图②的数轴上作出点 $ M $，使得点 $ M $ 表示的数为图①中阴影正方形的长(保留作图痕迹，不写作法)。
答案
(1) 10；$\sqrt{10}$
(2) （作图步骤：以原点为圆心，以图①中阴影正方形边长$\sqrt{10}$为半径画弧，与数轴正半轴交于点M，点M即为所求。）
（注：此处需在图②数轴上实际作图，保留圆弧痕迹，交点标记为M。）
(2) （作图步骤：以原点为圆心，以图①中阴影正方形边长$\sqrt{10}$为半径画弧，与数轴正半轴交于点M，点M即为所求。）
（注：此处需在图②数轴上实际作图，保留圆弧痕迹，交点标记为M。）
5. 提升题 解答下列问题：
（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为 $ 100 \mathrm{ cm} $，宽为 $ 50 \mathrm{ cm} $ 的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点 $ A $ 处到达点 $ C $ 处需要走的最短路径，依据是。
（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽 $ AD $，木块从正面看是一个边长为 $ 10 \mathrm{ cm} $ 的等边三角形。求这只蚂蚁从点 $ A $ 处出发，翻越木块后到达点 $ C $ 处需要走的最短路程。
（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为 $ 100 \mathrm{ cm} $，宽为 $ 50 \mathrm{ cm} $ 的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点 $ A $ 处到达点 $ C $ 处需要走的最短路径，依据是。
（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽 $ AD $，木块从正面看是一个边长为 $ 10 \mathrm{ cm} $ 的等边三角形。求这只蚂蚁从点 $ A $ 处出发，翻越木块后到达点 $ C $ 处需要走的最短路程。
答案
（1）两点之间线段最短；（2）130cm。
解析
（1）连接AC，两点之间线段最短。
（2）将正三棱柱两个相邻侧面展开，展开后侧面总宽度为 $10 + 10 = 20 \, \mathrm{cm}$，地毯长100cm，故水平总距离为 $100 + 20 = 120 \, \mathrm{cm}$，宽为50cm。由勾股定理得最短路程为 $\sqrt{120^2 + 50^2} = 130 \, \mathrm{cm}$。
（2）将正三棱柱两个相邻侧面展开，展开后侧面总宽度为 $10 + 10 = 20 \, \mathrm{cm}$，地毯长100cm，故水平总距离为 $100 + 20 = 120 \, \mathrm{cm}$，宽为50cm。由勾股定理得最短路程为 $\sqrt{120^2 + 50^2} = 130 \, \mathrm{cm}$。
