9. 如图，$P$ 为 $AB$ 上任意一点，分别以 $AP$，$PB$ 为边在 $AB$ 同侧作正方形 $APCD$、正方形 $PBEF$，连结 $AF$，$BC$。设 $∠ CBE = x°$，$∠ AFP = y°$，则 $y$ 与 $x$ 的关系为()

A.$y = x$
B.$y = 2x$
C.$y = 180 - x$
D.$y = 90 - x$

9. D

10. 如图，$P$ 为边长为 $2$ 的正方形 $AB - CD$ 的对角线 $BD$ 上任一点，过点 $P$ 作 $PE ⊥ BC$ 于点 $E$，$PF ⊥ CD$ 于点 $F$，连结 $EF$。当点 $P$ 运动到 $BD$ 的中点时，$EF =$。

10. $\sqrt{2}$ [解析]当点P运动到BD的中点时，如图。
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴$BC=CD=2$，$∠C=90°$，
∴$CD⊥BC$。
∵$PE⊥BC$，$PF⊥CD$，
∴$∠PEC=∠PFC=∠C=90°$，
$PE// CD$，
$PF// BC$，
∴四边形PECF是矩形。
当点P运动到BD的中点时，PE，PF分别是$△BCD$的中位线，
∴$PE=\frac{1}{2}CD=1$，$PF=\frac{1}{2}BC=1$，
∴$PE=PF=1$，
∴四边形PECF是正方形。
在$Rt△PEF$中，由勾股定理得$EF=\sqrt{PE^{2}+PF^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。

11. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$E$ 是 $CD$ 的中点，$HG$ 垂直平分 $AE$ 且分别交 $AE$，$BC$ 于点 $H$，$G$，则 $BG =$。

11. $\frac{1}{4}$ [解析] 如图，连结AG，EG。
∵HG垂直平分AE，
∴$AG=EG$。
∵正方形ABCD的边长为2，
∴$∠B=∠C=90°$，$AB=BC=CD=2$。
∵E是CD的中点，
∴$CE=1$。
设$CG=x$，则$BG=2-x$，
由勾股定理，得$EG^{2}=CG^{2}+EC^{2}=x^{2}+1$，
$AG^{2}=AB^{2}+BG^{2}=4+(2-x)^{2}$，
∴$x^{2}+1=4+(2-x)^{2}$，
解得$x=\frac{7}{4}$，
∴$CG=\frac{7}{4}$，
∴$BG=2-\frac{7}{4}=\frac{1}{4}$。

12. 在正方形 $ABCD$ 中，$AC$ 为其对角线，$E$ 为 $AC$ 上一点，连结 $EB$，$ED$。
（1）求证：$△ EBC ≌ △ EDC$。
（2）延长 $BE$ 交 $AD$ 于点 $F$，当 $CE = BC$ 时，求 $∠ EFD$ 的度数。

12. 解：(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BC=CD$，$∠BCE=∠DCE=45°$。
又$EC=EC$，
∴$△EBC≌△EDC(SAS)$。
(2)
∵$CE=BC$，且$∠ACB=45°$，
∴$∠EBC=∠BEC=67.5°$。
∵$AD// BC$，
∴$∠AFB=∠FBC=67.5°$。
∵$∠EFD+∠AFB=180°$，
∴$∠EFD=112.5°$。

13. 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，$P$ 为对角线 $BD$ 上任意一点，连结 $AP$，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ AP$ 交 $BC$ 于点 $Q$。
（1）求证：$AP = PQ$。
（2）若 $DP = \sqrt{2}$，求四边形 $ABQP$ 的面积。

13. 解：(1)证明：过点P作$MN// CD$交AD于点M，交BC于点N，如图。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ADB=45°$。
∵$MN// CD$，$∠ADC=90°$，
∴四边形MNCD为矩形，
∴$∠NMD=90°$，$∠MPD=45°$，
$AD=CD=MN$，
∴$MD=MP$，
∴$AM=PN$。
∵$AP⊥PQ$，
∴$∠APQ=90°$，
∴$∠APM+∠QPN=90°$。
∵$∠QPN+∠PQN=90°$，
∴$∠APM=∠PQN$。
在$△AMP$和$△PNQ$中，
$\because \{\begin{array}{l}∠ APM=∠ PQN,\\ ∠ AMP=∠ PNQ,\\ AM=PN,\end{array} $
∴$△AMP≌△PNQ(AAS)$，
∴$AP=PQ$。
(2)在等腰直角三角形DMP中，$DP=\sqrt{2}$，
根据勾股定理得$MD=MP=1$，
∴$AM=5$，
∴$S_{四边形ABQP}=S_{矩形ABNM}-2S_{△AMP}=6×5-2×\frac{5×1}{2}=25$。