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例 1 甲、乙两台机床同时加工直径为 100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽出 6 件进行测量，测得数据如下表（单位：mm）：
（1）分别计算两组数据的平均数与方差；
（2）根据（1）的计算结果，你认为哪一台机床加工这种零件更符合要求？
【思路导析】根据平均数和方差的计算公式计算.
【请你解答】
（1）分别计算两组数据的平均数与方差；
（2）根据（1）的计算结果，你认为哪一台机床加工这种零件更符合要求？
【思路导析】根据平均数和方差的计算公式计算.
【请你解答】
答案
（1）甲机床数据：$99, 100, 98, 100, 100, 103$，
平均数：
$\bar{x}_{甲} = \frac{99 + 100 + 98 + 100 + 100 + 103}{6} = \frac{600}{6} = 100 \mathrm{ mm}$，
方差：
$s_{甲}^{2}= \frac{1}{6}×[(99-100)^2+(100-100)^2+(98-100)^2+(100-100)^2+(100-100)^2+(103-100)^2]$
$ = \frac{1}{6} × [1 + 0 + 4 + 0 + 0 + 9]$
$ = \frac{14}{6}$
$ = \frac{7}{3}$
$\approx 2.33$
乙机床数据：$99, 100, 102, 99, 100, 100$，
平均数：
$\bar{x}_{乙} = \frac{99 + 100 + 102 + 99 + 100 + 100}{6} = \frac{600}{6} = 100 \mathrm{ mm}$，
方差：
$s_{乙}^{2}= \frac{1}{6}×[(99-100)^2+(100-100)^2+(102-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(100-100)^2]$
$ = \frac{1}{6} × [1 + 0 + 4 + 1 + 0 + 0]$
$ = \frac{6}{6}$
$ = 1$
（2）由于 $s_{乙}^{2} ＜s_{甲}^{2} $，乙机床的方差更小，说明乙机床加工的零件直径更稳定，更符合要求。
因此乙机床加工这种零件更符合要求。
平均数：
$\bar{x}_{甲} = \frac{99 + 100 + 98 + 100 + 100 + 103}{6} = \frac{600}{6} = 100 \mathrm{ mm}$，
方差：
$s_{甲}^{2}= \frac{1}{6}×[(99-100)^2+(100-100)^2+(98-100)^2+(100-100)^2+(100-100)^2+(103-100)^2]$
$ = \frac{1}{6} × [1 + 0 + 4 + 0 + 0 + 9]$
$ = \frac{14}{6}$
$ = \frac{7}{3}$
$\approx 2.33$
乙机床数据：$99, 100, 102, 99, 100, 100$，
平均数：
$\bar{x}_{乙} = \frac{99 + 100 + 102 + 99 + 100 + 100}{6} = \frac{600}{6} = 100 \mathrm{ mm}$，
方差：
$s_{乙}^{2}= \frac{1}{6}×[(99-100)^2+(100-100)^2+(102-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(100-100)^2]$
$ = \frac{1}{6} × [1 + 0 + 4 + 1 + 0 + 0]$
$ = \frac{6}{6}$
$ = 1$
（2）由于 $s_{乙}^{2} ＜s_{甲}^{2} $，乙机床的方差更小，说明乙机床加工的零件直径更稳定，更符合要求。
因此乙机床加工这种零件更符合要求。
例 2 从 A、B、C、D 四个班各选 10 名同学参加学校 1500 m 长跑比赛，各班选手平均用时及方差如下表：
各班选手用时波动最小的是()
A.A 班
B.B 班
C.C 班
D.D 班
【思路导析】方差越小，波动性越小.
【请你解答】.
各班选手用时波动最小的是()
A.A 班
B.B 班
C.C 班
D.D 班
【思路导析】方差越小，波动性越小.
【请你解答】.
答案
D
解析
方差是衡量数据波动大小的量，方差越小，数据波动越小。比较四个班的方差：0.14（D班）＜0.15（A班）＜0.16（B班）＜0.17（C班），所以D班选手用时波动最小。
例 3 为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取 10 台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如表所示（单位：s）：
（1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；
（2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；
（3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优. 若两种类型的电子钟价格相同，请问，你买哪种电子钟？ 为什么？
【探究点拨】在价格相等的条件下，选择稳定性较好即方差较小的电子钟.
【规范解答】（1）$\overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙}=0$；
（2）$s^{2}_{甲}=6$，$s^{2}_{乙}=4.8$；
（3）买乙种电子钟，因为乙种电子钟更稳定.
（1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；
（2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；
（3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优. 若两种类型的电子钟价格相同，请问，你买哪种电子钟？ 为什么？
【探究点拨】在价格相等的条件下，选择稳定性较好即方差较小的电子钟.
【规范解答】（1）$\overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙}=0$；
（2）$s^{2}_{甲}=6$，$s^{2}_{乙}=4.8$；
（3）买乙种电子钟，因为乙种电子钟更稳定.
答案
（1）甲种电子钟走时误差的平均数：$\overline{x}_{甲}=\frac{1+(-3)+(-4)+4+2+(-2)+2+(-1)+(-1)+2}{10}=\frac{0}{10}=0$；乙种电子钟走时误差的平均数：$\overline{x}_{乙}=\frac{4+(-3)+(-1)+2+(-2)+1+(-2)+2+(-2)+1}{10}=\frac{0}{10}=0$。
（2）甲种电子钟走时误差的方差：$s^{2}_{甲}=\frac{(1-0)^{2}+(-3-0)^{2}+(-4-0)^{2}+(4-0)^{2}+(2-0)^{2}+(-2-0)^{2}+(2-0)^{2}+(-1-0)^{2}+(-1-0)^{2}+(2-0)^{2}}{10}=\frac{1+9+16+16+4+4+4+1+1+4}{10}=6$；乙种电子钟走时误差的方差：$s^{2}_{乙}=\frac{(4-0)^{2}+(-3-0)^{2}+(-1-0)^{2}+(2-0)^{2}+(-2-0)^{2}+(1-0)^{2}+(-2-0)^{2}+(2-0)^{2}+(-2-0)^{2}+(1-0)^{2}}{10}=\frac{16+9+1+4+4+1+4+4+4+1}{10}=4.8$。
（3）买乙种电子钟，因为乙种电子钟走时误差的方差较小，稳定性更好。
（2）甲种电子钟走时误差的方差：$s^{2}_{甲}=\frac{(1-0)^{2}+(-3-0)^{2}+(-4-0)^{2}+(4-0)^{2}+(2-0)^{2}+(-2-0)^{2}+(2-0)^{2}+(-1-0)^{2}+(-1-0)^{2}+(2-0)^{2}}{10}=\frac{1+9+16+16+4+4+4+1+1+4}{10}=6$；乙种电子钟走时误差的方差：$s^{2}_{乙}=\frac{(4-0)^{2}+(-3-0)^{2}+(-1-0)^{2}+(2-0)^{2}+(-2-0)^{2}+(1-0)^{2}+(-2-0)^{2}+(2-0)^{2}+(-2-0)^{2}+(1-0)^{2}}{10}=\frac{16+9+1+4+4+1+4+4+4+1}{10}=4.8$。
（3）买乙种电子钟，因为乙种电子钟走时误差的方差较小，稳定性更好。
要从甲、乙两名学生中选择一人参加法律知识竞赛，在相同条件下对他们的法律知识进行了 10 次测验，成绩如下（百分制）：
|甲成绩|76|84|90|84|81|87|88|81|85|84|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|乙成绩|82|86|87|90|79|81|93|90|74|78|
（1）请填写下表：
（2）利用（1）的信息，请你对甲、乙两个同学的成绩进行分析.
|甲成绩|76|84|90|84|81|87|88|81|85|84|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|乙成绩|82|86|87|90|79|81|93|90|74|78|
（1）请填写下表：
（2）利用（1）的信息，请你对甲、乙两个同学的成绩进行分析.
答案
（1）
甲：中位数 84，方差 14.4；乙：众数 90，85 分以上频率 0.5。
（2）
① 甲、乙平均成绩均为 84，平均水平相同；
② 甲的方差（14.4）小于乙的方差（34），甲成绩更稳定；
③ 乙的众数（90）高于甲的众数（84），且 85 分以上频率（0.5）高于甲（0.3），乙高分段表现更优。
综上，若需稳定发挥选甲，若需冲击高分选乙。
甲：中位数 84，方差 14.4；乙：众数 90，85 分以上频率 0.5。
（2）
① 甲、乙平均成绩均为 84，平均水平相同；
② 甲的方差（14.4）小于乙的方差（34），甲成绩更稳定；
③ 乙的众数（90）高于甲的众数（84），且 85 分以上频率（0.5）高于甲（0.3），乙高分段表现更优。
综上，若需稳定发挥选甲，若需冲击高分选乙。
