9. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ DE // BC $，$ \frac{AE}{EC} = \frac{1}{2} $. 求 $ \triangle DOE $ 与 $ \triangle BOC $ 的周长比与面积比.
答案
解：∵DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴$\frac {DE}{BC}=\frac {AE}{AC}$
∵$\frac {AE}{EC}=\frac 12$
∴$\frac {DE}{BC}=\frac {AE}{AC}=\frac 13$
∵DE//BC
∴∠ODE=∠OCB
∵∠DOE=∠BOC
∴△DOE∽△BOC，且相似比为1 ： 3
∴△DOE与△BOC的周长比为1 ：3，面积比为1 ：9
∴△ADE∽△ABC
∴$\frac {DE}{BC}=\frac {AE}{AC}$
∵$\frac {AE}{EC}=\frac 12$
∴$\frac {DE}{BC}=\frac {AE}{AC}=\frac 13$
∵DE//BC
∴∠ODE=∠OCB
∵∠DOE=∠BOC
∴△DOE∽△BOC，且相似比为1 ： 3
∴△DOE与△BOC的周长比为1 ：3，面积比为1 ：9
10. 如图，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ \triangle AOD $ 的面积与 $ \triangle BOC $ 的面积之比为 $ 1:9 $，$ \triangle AOB $ 的面积为 $ 6 $.
(1) 求 $ AD:BC $ 的值；
(2) 求梯形 $ ABCD $ 的面积.
(1) 求 $ AD:BC $ 的值；
(2) 求梯形 $ ABCD $ 的面积.
答案
解：(1)∵AD//BC
∴∠DAO=∠OCB
∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD∽△COB
∵△AOD的面积与△BOC的面积之比为1：9
∴AD：BC=1：3
(2)∵△AOD∽△COB，AD：BC=1：3
∴OD：OB=AD：BC=1：3
∴$S_{△AOD}$：$S_{△AOB}=1$：3
∵△AOB的面积为6
∴$S_{△AOD}=2，$$S_{△ABD}=8$
∵$S_{△ABD}$：$S_{△BCD}=AD$：BC=1：3
∴$S_{△BCD}=24$
∴$S_{梯形ABCD}=S_{△ABD}+S△ BCD=32$
∴∠DAO=∠OCB
∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD∽△COB
∵△AOD的面积与△BOC的面积之比为1：9
∴AD：BC=1：3
(2)∵△AOD∽△COB，AD：BC=1：3
∴OD：OB=AD：BC=1：3
∴$S_{△AOD}$：$S_{△AOB}=1$：3
∵△AOB的面积为6
∴$S_{△AOD}=2，$$S_{△ABD}=8$
∵$S_{△ABD}$：$S_{△BCD}=AD$：BC=1：3
∴$S_{△BCD}=24$
∴$S_{梯形ABCD}=S_{△ABD}+S△ BCD=32$
11. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $ 是边 $ BC $ 的中点，且 $ AD = AC $，$ DE ⊥ BC $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，$ EC $ 交 $ AD $ 于点 $ F $. 若 $ \triangle FCD $ 的面积为 $ 5 $，$ BC = 10 $，求 $ DE $ 的长.
答案
解：作AG⊥BC，垂足为G
∵AD=AC
∴∠ACB=∠FDC
∵点D是BC的中点
∴DB=DC
∵DE⊥BC
∴∠EDB=∠EDC=90°
在△BDE和△CDE中
$\begin{cases}{DE=DE}\\{∠EDB=∠EDC}\\{DB=DC}\end{cases}$
∴$△BDE≌△CDE(\mathrm {SAS})$
∴∠FCD=∠ABC
∵∠FDC=∠ACB
∴△FCD∽△ABC，且相似比为CD：BC=1：2
∴$S_{△ABC}=4S_{△FCD}$
∵$S_{△FCD}=5$
∴$S_{△ABC}=\frac 12×BC×AG=20$
∵BC=10
∴AG=4
∵点D为BC的中点
∴BD=CD=5
∵AD=AC，AG⊥BC
∴点G为CD的中点，$DG=\frac 12CD=\frac 52$
∴$BG=BD+DG=\frac {15}{2}$
∵DE⊥BC
∴DE//AG
∴△BDE∽△BGA
∴$\frac {BD}{BG}=\frac {DE}{AG}$
∵BD=5，$BG=\frac {15}{2}，$AG=4
∴$\frac 5{\frac {15}{2}}=\frac {DE}4$
∴$DE=\frac 83$
12. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $、$ E $ 分别在 $ AB $、$ AC $ 上，且 $ DE // BC $(点 $ D $ 不与点 $ A $、$ B $ 重合). 设 $ \frac{AD}{AB} = x $，$ \triangle DBE $ 的面积为 $ y $，$ \triangle ABC $ 的面积为 $ 5 $，求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
答案
解：由△ADE∽△ABC，得$\frac {S_{△ADE}}5=(\frac {AD}{AB})^2=x^2，$
$S_{△ADE}=5x^2$
又$\frac y{S_{△ADE}}=\frac {BD}{AD}=\frac {AB-AD}{AD}=\frac {AB}{AD}-1=\frac 1{x}-1$
∴$y=(\frac 1{x}-1) · S_{△ADE}=(\frac 1{x}-1) · 5x^2=5x-5x^2$
∴$y=5x-5x^2(0＜x＜1)$
$S_{△ADE}=5x^2$
又$\frac y{S_{△ADE}}=\frac {BD}{AD}=\frac {AB-AD}{AD}=\frac {AB}{AD}-1=\frac 1{x}-1$
∴$y=(\frac 1{x}-1) · S_{△ADE}=(\frac 1{x}-1) · 5x^2=5x-5x^2$
∴$y=5x-5x^2(0＜x＜1)$
