联想分数的通分，根据“分式的基本性质(1)”中的例题，你能想出如何对分式进行通分吗？

在分式中，根据分式的基本性质，将几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母分式，称为分式的通分。
具体步骤如下：
先将各分式中分母的所有因式求最简公分母（取各分母的所有因式的最高次幂的积作为最简公分母）；
再根据分式的基本性质将各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母。
例如，对于分式$\frac{1}{2x}$和$\frac{1}{3x^2}$：
首先确定最简公分母为$6x^2$；
对于分式$\frac{1}{2x}$，为了使其分母变为$6x^2$，需要乘以$\frac{3x}{3x}$，得到$\frac{3x}{6x^2}$；
对于分式$\frac{1}{3x^2}$，为了使其分母变为$6x^2$，需要乘以$\frac{2}{2}$，得到$\frac{2}{6x^2}$。
这样，两个分式就通分为了具有相同分母的分式。

例 通分：
(1) $\frac{1}{3a^{2}b},\frac{1}{4ab^{2}},\frac{1}{12ab}$；
(2) $\frac{1}{x^{2}-y^{2}},\frac{1}{x^{2}+2xy + y^{2}},\frac{1}{x^{2}+xy}$。

(1)最简公分母为$12a^{2}b^{2}$，
$\frac{1}{3a^{2}b}=\frac{1×4b}{3a^{2}b×4b}=\frac{4b}{12a^{2}b^{2}}$，
$\frac{1}{4ab^{2}}=\frac{1×3a}{4ab^{2}×3a}=\frac{3a}{12a^{2}b^{2}}$，
$\frac{1}{12ab}=\frac{1× ab}{12ab× ab}=\frac{ab}{12a^{2}b^{2}}$；
(2)分母因式分解：$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$，$x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$，$x^{2}+xy=x(x+y)$，最简公分母为$x(x-y)(x+y)^{2}$，
$\frac{1}{x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{(x-y)(x+y)}=\frac{x(x+y)}{x(x-y)(x+y)^{2}}=\frac{x^{2}+xy}{x(x-y)(x+y)^{2}}$，
$\frac{1}{x^{2}+2xy+y^{2}}=\frac{1}{(x+y)^{2}}=\frac{x(x-y)}{x(x-y)(x+y)^{2}}=\frac{x^{2}-xy}{x(x-y)(x+y)^{2}}$，
$\frac{1}{x^{2}+xy}=\frac{1}{x(x+y)}=\frac{(x-y)(x+y)}{x(x-y)(x+y)^{2}}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x(x-y)(x+y)^{2}}$。

(1) $\frac{2}{3 + x}=\frac{(\quad)}{2(3 + x)}$；

$4$

根据分式的基本性质，分子分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变。
等式左边分母为$3 + x$，等式右边分母为$2(3 + x)$，右边分母是左边分母乘以2得到的。
所以分子也应乘以2，即$2×2 = 4$。
故括号内应填$4$。

(2) $\frac{x}{3}=\frac{(\quad)}{3(3 + x)}$；

设所求分子为$A$，由分式的基本性质得：
$\frac{x}{3} = \frac{A}{3(3 + x)}$，
交叉相乘，可得：
$x × (3(3 + x)) = 3 × A$
$3x(3 + x) = 3A$
$A = x(3 + x)$
所以$\frac{x}{3} = \frac{x(3 + x)}{3(3 + x)}$。
故答案为$x(3 + x)$。

(3) $\frac{2}{1 - x}=\frac{(\quad)}{x - 1}$；

观察原式$\frac{2}{1 - x}$，为了将其转化为分母为$x - 1$的形式，需要对分母进行变形。
将分母$1 - x$变形为$- (x - 1)$，即：
$1 - x = - (x - 1)$
将原式$\frac{2}{1 - x}$中的分母替换为$- (x - 1)$，得到：
$\frac{2}{1 - x} = \frac{2}{- (x - 1)}$
为了消去分母中的负号，可以同时改变分子和分母的符号，得到：
$\frac{2}{- (x - 1)} = \frac{-2}{x - 1}$
所以，括号内应填$-2$。

(4) $\frac{(\quad)}{(b - a)^{2}}=\frac{a}{(a - b)^{2}}$；

设所求分子为$M$，已知等式右边为$\frac{a}{(a - b)^{2}}$，
因为$(b - a)^{2} = (a - b)^{2}$，
所以$\frac{M}{(b - a)^{2}} = \frac{M}{(a - b)^{2}} = \frac{a}{(a - b)^{2}$，
可得$M = a$。
故答案为$a$。

(5) 分式$\frac{1}{2a},\frac{1}{4a^{2}+2a}$的最简公分母是；

①先对分母进行因式分解：
$2a = 2 × a$，
$4a^{2} + 2a=2a(2a + 1)$，
确定最简公分母：
取各分母系数的最小公倍数：$2$，
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，
同底数幂取次数最高的：$a\mathrm{、}(2a + 1)$，
则得到的因式积：$2a(2a + 1)$就是最简公分母，
所以，分式$\frac{1}{2a},\frac{1}{4a^{2} + 2a}$的最简公分母是$2a(2a + 1)$。
故答案为$2a(2a + 1)$。

(6) 分式$\frac{1}{2(x + 1)},\frac{1}{3(x + 1)^{2}}$的最简公分母是。

确定最简公分母的方法：
1. 取各分母系数的最小公倍数：2和3的最小公倍数是6。
2. 凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
3. 同底数幂取次数最高的：$(x + 1)$的最高次数是2。
所以最简公分母是$6(x + 1)^{2}$。
$6(x + 1)^{2}$

2. 通分：
(1) $\frac{1}{ac},\frac{1}{2ab}$；
(2) $\frac{3}{x - 2},\frac{2}{6 - 3x}$；
(3) $\frac{1}{(x + 1)(x - 4)},\frac{2}{(x - 4)^{2}}$；
(4) $\frac{2}{4 - x^{2}},\frac{-1}{(x - 2)^{2}}$。

(1) $\frac{2b}{2abc},\frac{c}{2abc}$；
(2) $\frac{9}{3(x - 2)},-\frac{2}{3(x - 2)}$；
(3) $\frac{x - 4}{(x + 1)(x - 4)^2},\frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x - 4)^2}$；
(4) $-\frac{2(x - 2)}{(x - 2)^2(x + 2)},\frac{-(x + 2)}{(x - 2)^2(x + 2)}$。

(1) 最简公分母为$2abc$。$\frac{1}{ac}=\frac{1×2b}{ac×2b}=\frac{2b}{2abc}$；$\frac{1}{2ab}=\frac{1×c}{2ab×c}=\frac{c}{2abc}$。
(2) $6 - 3x = -3(x - 2)$，最简公分母为$3(x - 2)$。$\frac{3}{x - 2}=\frac{3×3}{(x - 2)×3}=\frac{9}{3(x - 2)}$；$\frac{2}{6 - 3x}=\frac{2}{-3(x - 2)}=-\frac{2}{3(x - 2)}$。
(3) 最简公分母为$(x + 1)(x - 4)^2$。$\frac{1}{(x + 1)(x - 4)}=\frac{1×(x - 4)}{(x + 1)(x - 4)×(x - 4)}=\frac{x - 4}{(x + 1)(x - 4)^2}$；$\frac{2}{(x - 4)^2}=\frac{2×(x + 1)}{(x - 4)^2×(x + 1)}=\frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x - 4)^2}$。
(4) $4 - x^2 = -(x - 2)(x + 2)$，最简公分母为$(x - 2)^2(x + 2)$。$\frac{2}{4 - x^2}=-\frac{2}{(x - 2)(x + 2)}=-\frac{2(x - 2)}{(x - 2)^2(x + 2)}$；$\frac{-1}{(x - 2)^2}=\frac{-(x + 2)}{(x - 2)^2(x + 2)}$。