25. (本小题满分 14 分)在二次函数 $y=x^{2}$ 的图象上分别取三点 $P$,$A$,$B$,其中点 $P(p,-p)$在第二象限内,$A$,$B$ 两点的横坐标分别为 $a$,$b$,且满足 $a≤ p≤ b$.
(1) 求 $p$ 的值.
(2) 记 $a≤ x≤ b$ 时二次函数 $y=x^{2}$ 的最大值为 $y_{1}$,最小值为 $y_{2}$.若 $b-a=3$,求 $y_{1}-y_{2}$ 的取值范围.
(3) 连接 $PA$,$PB$,$AB$. 当 $PA⊥ PB$ 时,作 $PH⊥ AB$,垂足为$H$,$PH$ 的长是否存在最大值? 若存在,求 $PH$ 长的最大值;若不存在,请说明理由.

(1) $ -1 $；(2) $ [\frac{9}{4},15] $；(3) 存在，最大值为 $ \sqrt{5} $。

(1) 点 $ P(p,-p) $ 在 $ y=x^2 $ 上，代入得 $ -p = p^2 $，即 $ p^2 + p = 0 $，解得 $ p=0 $ 或 $ p=-1 $。
∵ 点 $ P $ 在第二象限，∴ $ p＜0 $ 且 $ -p＞0 $，故 $ p=-1 $。
(2) 由 $ a ≤ -1 ≤ b $ 且 $ b-a=3 $，得 $ b=a+3 $，$ a \in [-4,-1] $。
二次函数 $ y=x^2 $ 开口向上，对称轴 $ x=0 $。
当 $ a ＜ -3 $（即 $ b=a+3 ＜ 0 $）时，区间在对称轴左侧，$ y_1=a^2 $，$ y_2=b^2 $，$ y_1-y_2=a^2 - b^2 = -3(2a+3) $，$ a \in [-4,-3) $，得 $ y_1-y_2 \in (9,15] $。
当 $ -3 ≤ a ≤ -1 $（即 $ 0 \in [a,b] $）时，$ y_2=0 $，$ y_1=\max(a^2,b^2) $。
若 $ -3 ≤ a ≤ -1.5 $，$ y_1=a^2 $，$ y_1-y_2=a^2 \in (2.25,9] $；
若 $ -1.5 ≤ a ≤ -1 $，$ y_1=b^2=(a+3)^2 $，$ y_1-y_2=(a+3)^2 \in [2.25,4] $。
综上，$ y_1-y_2 \in [\frac{9}{4},15] $。
(3) 存在。
$ P(-1,1) $，$ A(a,a^2) $，$ B(b,b^2) $。$ PA ⊥ PB $，则 $ \overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB}=0 $，即 $ (a+1)(b+1)+(a^2-1)(b^2-1)=0 $，化简得 $ (a-1)(b-1)=-1 $，即 $ ab=a+b-2 $。
直线 $ AB $：$ y=(a+b)x - ab=(a+b)(x-1)+2 $，恒过定点 $ Q(1,2) $。
$ PH $ 为 $ P(-1,1) $ 到直线 $ AB $ 的距离，$ PQ=\sqrt{(1+1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{5} $。
$ PH ≤ PQ $，当 $ AB ⊥ PQ $ 时，$ PH=PQ=\sqrt{5} $。
故 $ PH $ 最大值为 $ \sqrt{5} $。