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9. 某公司去年盈亏记录(记盈利额为正数)如下：1～3月平均每月亏损20.5万元,4～6月平均每月盈利12万元,7～10月平均每月盈利16万元,11～12月平均每月亏损23万元。
(1)请通过计算说明这家公司去年是盈利还是亏损,盈利或亏损了多少万元？
(2)这家公司去年上半年平均每月盈利多,还是下半年平均每月盈利多？多多少万元？
(1)请通过计算说明这家公司去年是盈利还是亏损,盈利或亏损了多少万元？
(2)这家公司去年上半年平均每月盈利多,还是下半年平均每月盈利多？多多少万元？
答案
(1)已知盈利额为正数,则亏损额为负数,(-20.5)×3+12×3+16×4+(-23)×2=-61.5+36+64-46=-7.5(万元).答:这个公司去年是亏损,亏损了7.5万元.
(2)去年上半年平均每月盈利为(-20.5×3+12×3)÷6=-4.25(万元),去年下半年平均每月盈利为(16×4-23×2)÷6=3(万元),3-(-4.25)=7.25(万元).答:去年下半年平均每月盈利较多,多7.25万元.
解析
【分析】
(1)要判断公司去年全年的盈亏情况，首先明确盈利记为正、亏损记为负，再根据“某时间段总盈亏=该时间段平均每月盈亏×月数”，分别算出四个时段的总盈亏，最后将所有时段总盈亏相加，结果为正则盈利，结果为负则亏损，数值就是盈亏的具体金额。(2)上半年为1~6月共6个月，下半年为7~12月共6个月，先分别算出上下半年的总盈亏，再除以6得到上下半年平均每月的盈亏额，比较两个平均值的大小，用较大值减去较小值就能得到多的金额。
【解析】
(1) 规定盈利额为正数，亏损额为负数：
全年总盈亏 = 1~3月总盈亏 + 4~6月总盈亏 + 7~10月总盈亏 + 11~12月总盈亏
代入数据计算：
$\begin{aligned}&(-20.5)×3 + 12×3 + 16×4 + (-23)×2\\=&-61.5 + 36 + 64 - 46\\=&-7.5(\mathrm{万元})\end{aligned}$
结果为负，说明公司去年亏损。
(2) 先计算上半年平均每月盈亏：
上半年总盈亏 = $(-20.5)×3 + 12×3 = -25.5$（万元）
上半年平均每月盈亏 = $-25.5÷6 = -4.25$（万元）
再计算下半年平均每月盈亏：
下半年总盈亏 = $16×4 + (-23)×2 = 18$（万元）
下半年平均每月盈亏 = $18÷6 = 3$（万元）
比较得$3 ＞ -4.25$，下半年平均每月盈利更多，差值为：$3 - (-4.25) = 7.25$（万元）
【答案】
(1)这个公司去年是亏损，亏损了7.5万元。
(2)去年下半年平均每月盈利较多，多7.25万元。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算，平均数计算
【点评】
本题结合生活中的盈亏场景，考查对正负数意义的理解和有理数混合运算的应用能力，解题的关键是先明确正负的规定，再准确计算各阶段的盈亏总额，按照问题要求逐步求解即可。
【难度系数】
0.8
(1)要判断公司去年全年的盈亏情况，首先明确盈利记为正、亏损记为负，再根据“某时间段总盈亏=该时间段平均每月盈亏×月数”，分别算出四个时段的总盈亏，最后将所有时段总盈亏相加，结果为正则盈利，结果为负则亏损，数值就是盈亏的具体金额。(2)上半年为1~6月共6个月，下半年为7~12月共6个月，先分别算出上下半年的总盈亏，再除以6得到上下半年平均每月的盈亏额，比较两个平均值的大小，用较大值减去较小值就能得到多的金额。
【解析】
(1) 规定盈利额为正数，亏损额为负数：
全年总盈亏 = 1~3月总盈亏 + 4~6月总盈亏 + 7~10月总盈亏 + 11~12月总盈亏
代入数据计算：
$\begin{aligned}&(-20.5)×3 + 12×3 + 16×4 + (-23)×2\\=&-61.5 + 36 + 64 - 46\\=&-7.5(\mathrm{万元})\end{aligned}$
结果为负，说明公司去年亏损。
(2) 先计算上半年平均每月盈亏：
上半年总盈亏 = $(-20.5)×3 + 12×3 = -25.5$（万元）
上半年平均每月盈亏 = $-25.5÷6 = -4.25$（万元）
再计算下半年平均每月盈亏：
下半年总盈亏 = $16×4 + (-23)×2 = 18$（万元）
下半年平均每月盈亏 = $18÷6 = 3$（万元）
比较得$3 ＞ -4.25$，下半年平均每月盈利更多，差值为：$3 - (-4.25) = 7.25$（万元）
【答案】
(1)这个公司去年是亏损，亏损了7.5万元。
(2)去年下半年平均每月盈利较多，多7.25万元。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算，平均数计算
【点评】
本题结合生活中的盈亏场景，考查对正负数意义的理解和有理数混合运算的应用能力，解题的关键是先明确正负的规定，再准确计算各阶段的盈亏总额，按照问题要求逐步求解即可。
【难度系数】
0.8
10. 请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用,可以重复,将4个数-2,4,-6,8组成算式(4个数都用且每个数只能用一次),使运算结果为24,你列出的算式是______(只写一种)。
答案
8×(-6)÷[4÷(-2)](答案不唯一) 解析:首先用4除以-2,构造出-2,然后用8与-6的积除以-2,即可使运算结果为24.
解析
【分析】
本题要求用给定的4个有理数-2、4、-6、8，仅借助加减乘除和括号，每个数只用一次，凑出运算结果24。解题时可从24的常见拆分形式入手，结合有理数运算的符号规则（如负负得正），先尝试两两组合得到中间值，再将中间值与剩余数字组合，通过括号调整运算优先级，最终匹配出符合要求的算式。比如我们可以利用“两个负数相除得正数”的规则，凑出-48÷(-2)=24的结构，再用给定数字分别构造被除数和除数即可。
【解析】
我们可以按以下步骤构造符合要求的算式：
1. 先用数字4和-2构造除数：$4÷(-2)=-2$，为保证该部分优先运算，给它加上中括号；
2. 再用数字8和-6构造被除数：$8×(-6)=-48$；
3. 组合两部分得到完整算式：$8×(-6)÷[4÷(-2)]$。
验证计算：先算中括号内$4÷(-2)=-2$，再算$8×(-6)=-48$，最后算$-48÷(-2)=24$，满足结果要求，且4个数字均只用了一次。（答案不唯一）
【答案】
$8×(-6)÷[4÷(-2)]$（答案不唯一）
【知识点】
1. 有理数四则混合运算
2. 括号的运算优先级
【点评】
本题属于开放性运算题，重点考查对有理数运算法则的灵活运用能力，解题时可通过尝试不同的数字组合、调整运算顺序得到目标结果，能有效锻炼运算发散思维。
【难度系数】
0.7
本题要求用给定的4个有理数-2、4、-6、8，仅借助加减乘除和括号，每个数只用一次，凑出运算结果24。解题时可从24的常见拆分形式入手，结合有理数运算的符号规则（如负负得正），先尝试两两组合得到中间值，再将中间值与剩余数字组合，通过括号调整运算优先级，最终匹配出符合要求的算式。比如我们可以利用“两个负数相除得正数”的规则，凑出-48÷(-2)=24的结构，再用给定数字分别构造被除数和除数即可。
【解析】
我们可以按以下步骤构造符合要求的算式：
1. 先用数字4和-2构造除数：$4÷(-2)=-2$，为保证该部分优先运算，给它加上中括号；
2. 再用数字8和-6构造被除数：$8×(-6)=-48$；
3. 组合两部分得到完整算式：$8×(-6)÷[4÷(-2)]$。
验证计算：先算中括号内$4÷(-2)=-2$，再算$8×(-6)=-48$，最后算$-48÷(-2)=24$，满足结果要求，且4个数字均只用了一次。（答案不唯一）
【答案】
$8×(-6)÷[4÷(-2)]$（答案不唯一）
【知识点】
1. 有理数四则混合运算
2. 括号的运算优先级
【点评】
本题属于开放性运算题，重点考查对有理数运算法则的灵活运用能力，解题时可通过尝试不同的数字组合、调整运算顺序得到目标结果，能有效锻炼运算发散思维。
【难度系数】
0.7
11. 规定$[a]表示不超过a$的最大整数,例如：$[2.3]= 2$,$[5]= 5$,$\left[-4\dfrac{1}{3}\right]=-5$。计算$\left[2\dfrac{1}{5}\right]× [-3.6]-[0.1]÷ (-6)$的值为______。
答案
-8 解析:因为[a]表示不超过a的最大整数,所以[2$\frac{1}{5}$]=2,[-3.6]=-4,[0.1]=0.所以[2$\frac{1}{5}$]×[-3.6]-[0.1]÷(-6)=2×(-4)-0÷(-6)=-8-0=-8.
解析
【分析】
解题首先要明确题目给出的新定义「[a]表示不超过a的最大整数」的含义，第一步先分别确定式子中三个取整符号内的数对应的取整结果，再将结果代入原式，按照有理数混合运算“先乘除、后加减”的顺序计算即可。需要注意负数取整时，要找比这个负数小的最大整数，避免出错。
【解析】
根据新定义规则：
$[2\dfrac{1}{5}]$表示不超过$2\dfrac{1}{5}=2.2$的最大整数，因此$[2\dfrac{1}{5}]=2$；
$[-3.6]$表示不超过$-3.6$的最大整数，因此$[-3.6]=-4$；
$[0.1]$表示不超过$0.1$的最大整数，因此$[0.1]=0$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{split}[2\dfrac{1}{5}]× [-3.6]-[0.1]÷ (-6)&=2×(-4)-0÷(-6)\\&=-8-0\\&=-8\end{split}$
【答案】
$-8$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题是新定义结合有理数运算的基础题，解题核心是准确理解取整的规则，尤其要注意负数取整的结果小于原数，运算时牢记有理数混合运算的顺序，涉及0的除法运算不要出错。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确题目给出的新定义「[a]表示不超过a的最大整数」的含义，第一步先分别确定式子中三个取整符号内的数对应的取整结果，再将结果代入原式，按照有理数混合运算“先乘除、后加减”的顺序计算即可。需要注意负数取整时，要找比这个负数小的最大整数，避免出错。
【解析】
根据新定义规则：
$[2\dfrac{1}{5}]$表示不超过$2\dfrac{1}{5}=2.2$的最大整数，因此$[2\dfrac{1}{5}]=2$；
$[-3.6]$表示不超过$-3.6$的最大整数，因此$[-3.6]=-4$；
$[0.1]$表示不超过$0.1$的最大整数，因此$[0.1]=0$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{split}[2\dfrac{1}{5}]× [-3.6]-[0.1]÷ (-6)&=2×(-4)-0÷(-6)\\&=-8-0\\&=-8\end{split}$
【答案】
$-8$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题是新定义结合有理数运算的基础题，解题核心是准确理解取整的规则，尤其要注意负数取整的结果小于原数，运算时牢记有理数混合运算的顺序，涉及0的除法运算不要出错。
【难度系数】
0.7
12. 数学老师布置了一道思考题“计算：$\left(-\dfrac{1}{12}\right)÷ \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}\right)$”,小明仔细思考了一番,用了一种与众不同的方法解决了这个问题。
小明的解法如下：
原式的倒数为
$\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}\right)÷ \left(-\dfrac{1}{12}\right)$
$=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}\right)× (-12)$
$=\dfrac{1}{3}× (-12)+\dfrac{5}{6}× 12$
$=-4 + 10$
$=6$,
所以$\left(-\dfrac{1}{12}\right)÷ \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}\right)= \dfrac{1}{6}$。
请你运用小明的解法解答下面的问题。
计算：$\left(-\dfrac{1}{42}\right)÷ \left[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+\dfrac{4}{9}× (-6)\right]$。
小明的解法如下：
原式的倒数为
$\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}\right)÷ \left(-\dfrac{1}{12}\right)$
$=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}\right)× (-12)$
$=\dfrac{1}{3}× (-12)+\dfrac{5}{6}× 12$
$=-4 + 10$
$=6$,
所以$\left(-\dfrac{1}{12}\right)÷ \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}\right)= \dfrac{1}{6}$。
请你运用小明的解法解答下面的问题。
计算：$\left(-\dfrac{1}{42}\right)÷ \left[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+\dfrac{4}{9}× (-6)\right]$。
答案
原式的倒数为[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{5}{7}$+$\frac{4}{9}$×(-6)]÷(-$\frac{1}{42}$)=[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{5}{7}$+$\frac{4}{9}$×(-6)]×(-42)=($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{5}{7}$-$\frac{8}{3}$)×(-42)=$\frac{1}{2}$×(-42)-$\frac{1}{3}$×(-42)+$\frac{5}{7}$×(-42)-$\frac{8}{3}$×(-42)=-21+14-30+112=75,则原式=$\frac{1}{75}$.
解析
【分析】
本题可借鉴小明的“倒数法”简化计算，直接计算原式需要先对除数部分通分，计算量较大。解题思路如下：第一步，先写出原式的倒数，将被除数和除数互换位置，把除法运算转化为乘法运算；第二步，先计算除数中的乘法项，再利用乘法分配律将括号内的每一项与-42相乘，避免通分，简化计算；第三步，算出倒数的结果后，再取它的倒数就能得到原式的计算结果，计算时要格外注意符号的变化。
【解析】
解：先求原式的倒数：
$\begin{aligned}&[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}+\frac{4}{9}×(-6)]÷(-\frac{1}{42})\\=&[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}+\frac{4}{9}×(-6)]×(-42)\\=&(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{8}{3})×(-42)\\=&\frac{1}{2}×(-42)-\frac{1}{3}×(-42)+\frac{5}{7}×(-42)-\frac{8}{3}×(-42)\\=&-21 + 14 - 30 + 112\\=&75\end{aligned}$
因此原式为倒数结果的倒数，即$\frac{1}{75}$。
【答案】
$\dfrac{1}{75}$
【知识点】
有理数除法法则，倒数的性质，乘法分配律
【点评】
本题考查有理数混合运算的简便计算，采用倒数法可以避免复杂的通分运算，降低计算量。解题时要注意观察算式的结构特征，灵活选用简便方法，同时运算过程中要注意符号的正确性，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.6
本题可借鉴小明的“倒数法”简化计算，直接计算原式需要先对除数部分通分，计算量较大。解题思路如下：第一步，先写出原式的倒数，将被除数和除数互换位置，把除法运算转化为乘法运算；第二步，先计算除数中的乘法项，再利用乘法分配律将括号内的每一项与-42相乘，避免通分，简化计算；第三步，算出倒数的结果后，再取它的倒数就能得到原式的计算结果，计算时要格外注意符号的变化。
【解析】
解：先求原式的倒数：
$\begin{aligned}&[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}+\frac{4}{9}×(-6)]÷(-\frac{1}{42})\\=&[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}+\frac{4}{9}×(-6)]×(-42)\\=&(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{8}{3})×(-42)\\=&\frac{1}{2}×(-42)-\frac{1}{3}×(-42)+\frac{5}{7}×(-42)-\frac{8}{3}×(-42)\\=&-21 + 14 - 30 + 112\\=&75\end{aligned}$
因此原式为倒数结果的倒数，即$\frac{1}{75}$。
【答案】
$\dfrac{1}{75}$
【知识点】
有理数除法法则，倒数的性质，乘法分配律
【点评】
本题考查有理数混合运算的简便计算，采用倒数法可以避免复杂的通分运算，降低计算量。解题时要注意观察算式的结构特征，灵活选用简便方法，同时运算过程中要注意符号的正确性，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.6
13. 如果4个不同的整数$a$,$b$,$c$,$d满足(3 - a)\cdot(3 - b)(3 - c)(3 - d)= 9$,那么$a + b + c + d= $______。
答案
12 解析:因为a,b,c,d是4个不同的整数,9=(-1)×1×(-3)×3,所以4个括号内的值分别是-3,-1,+1,+3.(说明:与顺序无关)所以4个数分别为3+3=6,3+1=4,3-1=2,3-3=0.所以a+b+c+d=2+4+0+6=12.
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路推导：
1. 因为a、b、c、d是不同的整数，所以(3-a)、(3-b)、(3-c)、(3-d)也必然是4个互不相同的整数；
2. 这4个整数的乘积是9，我们需要将9拆分为4个不同整数相乘的形式。9的整数因数只有±1、±3、±9，若拆分包含±9，剩余3个整数的乘积只能是±1，无法找到3个不同的整数满足该条件，因此唯一符合要求的拆分是9=(-3)×(-1)×1×3；
3. 得到四个括号的取值后，就可以对应求出a、b、c、d四个数的和。
【解析】
解：已知a、b、c、d是4个不同的整数，因此(3-a)、(3-b)、(3-c)、(3-d)也为4个互不相同的整数，且它们的乘积为9。
把9分解为4个不同整数的乘积，唯一符合要求的拆分是：$\boldsymbol{9=(-3)×(-1)×1×3}$，因此四个括号的取值就是-3、-1、1、3（与顺序无关）。
分别计算对应的a、b、c、d：
当$3-a=-3$时，$a=3+3=6$；
当$3-b=-1$时，$b=3+1=4$；
当$3-c=1$时，$c=3-1=2$；
当$3-d=3$时，$d=3-3=0$。
所以$a+b+c+d=6+4+2+0=12$。
【答案】
12
【知识点】
有理数乘法，整数因数拆分，代数式求值
【点评】
本题侧重考查对有理数乘法的灵活运用和逻辑推理能力，解题的突破口是结合“不同整数”的限制条件，正确拆分9为4个不同整数的乘积，拆分时需要注意正负因数的搭配，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以按以下思路推导：
1. 因为a、b、c、d是不同的整数，所以(3-a)、(3-b)、(3-c)、(3-d)也必然是4个互不相同的整数；
2. 这4个整数的乘积是9，我们需要将9拆分为4个不同整数相乘的形式。9的整数因数只有±1、±3、±9，若拆分包含±9，剩余3个整数的乘积只能是±1，无法找到3个不同的整数满足该条件，因此唯一符合要求的拆分是9=(-3)×(-1)×1×3；
3. 得到四个括号的取值后，就可以对应求出a、b、c、d四个数的和。
【解析】
解：已知a、b、c、d是4个不同的整数，因此(3-a)、(3-b)、(3-c)、(3-d)也为4个互不相同的整数，且它们的乘积为9。
把9分解为4个不同整数的乘积，唯一符合要求的拆分是：$\boldsymbol{9=(-3)×(-1)×1×3}$，因此四个括号的取值就是-3、-1、1、3（与顺序无关）。
分别计算对应的a、b、c、d：
当$3-a=-3$时，$a=3+3=6$；
当$3-b=-1$时，$b=3+1=4$；
当$3-c=1$时，$c=3-1=2$；
当$3-d=3$时，$d=3-3=0$。
所以$a+b+c+d=6+4+2+0=12$。
【答案】
12
【知识点】
有理数乘法，整数因数拆分，代数式求值
【点评】
本题侧重考查对有理数乘法的灵活运用和逻辑推理能力，解题的突破口是结合“不同整数”的限制条件，正确拆分9为4个不同整数的乘积，拆分时需要注意正负因数的搭配，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
