6. （2024·广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是$\frac{7}{4}$m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m. 若实心球落地点为M，则OM = _______m.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

$\frac{35}{3}$

7. （2024·陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥. 桥梁的缆索L₁与缆索L₂均呈抛物线形，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 若缆索L₁所在抛物线与缆索L₂所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC = 100m，AO = BC = 17m，缆索L₁的最低点P到FF'的距离PD = 2m（桥塔的粗细忽略不计）.
（1）求缆索L₁所在抛物线对应的函数表达式；
（2）点E在缆索L₂上，EF⊥FF'，且EF = 2.6m，FO＜OD，求FO的长.
　

（1）∵AO = 17 m，∴A(0,17). ∵OC = 100 m，缆索L₁的最低点P到FF'的距离PD = 2 m，BC = 17 m，∴易得抛物线L₁的顶点P的坐标为(50,2). ∴可设缆索L₁所在抛物线对应的函数表达式为y = a(x - 50)² + 2. 将A(0,17)代入，得2500a + 2 = 17，解得a = $\frac{3}{500}$. ∴缆索L₁所在抛物线对应的函数表达式为y = $\frac{3}{500}$(x - 50)² + 2 （2）∵缆索L₁所在抛物线与缆索L₂所在抛物线关于y轴对称，∴缆索L₂所在抛物线对应的函数表达式为y = $\frac{3}{500}$(x + 50)² + 2. 令y = 2.6，得2.6 = $\frac{3}{500}$(x + 50)² + 2，解得x₁ = - 40或x₂ = - 60. 又∵FO＜OD，OD = 50 m，∴FO的长为40 m

8. （2023·温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形. 当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m. 已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线对应的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
　

（1）∵8 - 6 = 2(m)，∴抛物线的顶点坐标为(2,3). 设抛物线对应的函数表达式为y = a(x - 2)² + 3. 把A(8,0)代入，得36a + 3 = 0，解得a = - $\frac{1}{12}$. ∴抛物线对应的函数表达式为y = - $\frac{1}{12}$(x - 2)² + 3. ∵当x = 0时，y = - $\frac{1}{12}$×4 + 3 = $\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$＞2.44，∴球不能射进球门 （2）设小明带球向正后方移动m m，则移动后抛物线对应的函数表达式为y = - $\frac{1}{12}$(x - 2 - m)² + 3. 把(0,2.25)代入，得2.25 = - $\frac{1}{12}$(0 - 2 - m)² + 3，解得m₁ = - 5（不合题意，舍去），m₂ = 1. ∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处