1. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像如图所示，下列结论正确的是 （ ）
A. $a ＜ 0$
B. $c ＞ 0$
C. $b^{2}-4ac ＜ 0$
D. $4a + b = 0$
　　　　　　　　

D

2. （2023·鄂州）如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴是直线$x = 1$，且过点$(-1,0)$，顶点在第一象限. 给出下列结论：①$ab ＜ 0$；②$4a + 2b + c ＞ 0$；③$3a + c ＞ 0$；④ 若$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$（其中$x_{1}＜x_{2}$）是抛物线上的两点，且$x_{1}+x_{2}＞2$，则$y_{1}＞y_{2}$. 其中，正确的是 （ ）
A. ①②③
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②④
　　　　　　　　

D

3. （2024·广元改编）如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$过点$C(0,-2)$，与$x$轴交点的横坐标分别为$x_{1}$、$x_{2}$，且$-1＜x_{1}＜0$，$2\leqslant x_{2}＜3$. 有下列结论：①$a - b + c ＜ 0$；② 方程$ax^{2}+bx + c + 2 = 0$有两个不相等的实数根；③$a + b ＞ 0$；④$a＞\frac{2}{3}$. 其中，正确的有 （ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
　　　　　　　　

B 解析：① 观察图像上点(-1,a - b + c)的位置，得a - b + c＞0，故①不符合题意. ② 方程ax² + bx + c + 2 = 0可化为ax² + bx + c = - 2. 由题图，得抛物线y = ax² + bx + c与直线y = - 2有两个交点，∴ ax² + bx + c = - 2有两个不相等的实数根，即方程ax² + bx + c + 2 = 0有两个不相等的实数根. 故②符合题意. ③ 由抛物线y = ax² + bx + c过点C(0,-2)，得出c = - 2，即y = ax² + bx - 2. 观察点(-1,a - b - 2)的位置，得a - b - 2＞0，即a - b＞2. 同理根据点(2,4a + 2b - 2)的位置，得4a + 2b - 2≤0，即4a + 2b≤2，∴ a - b＞4a + 2b. ∴ a + b＜0. 故③不符合题意. ④ 由③，得a - b - 2＞0，即3a - 3b - 6＞0. 根据点(3,9a + 3b - 2)的位置，得9a + 3b - 2＞0，∴ 12a - 8＞0，解得a＞$\frac{2}{3}$. 故④符合题意. 综上所述，正确的有②④，共2个.

4. （2024·眉山）如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像与$x$轴交于点$A(3,0)$，与$y$轴交于点$B$，对称轴为直线$x = 1$. 有下列四个结论：①$bc ＜ 0$；②$3a + 2c ＜ 0$；③$ax^{2}+bx\geqslant a + b$；④ 若$-2 ＜ c ＜ -1$，则$-\frac{8}{3}＜a + b + c＜-\frac{4}{3}$. 其中，正确的有_______（填序号）.
　　　　　　　　　　　　

②③④

5. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$图像的一部分如图所示，该函数图像经过点$(-2,0)$，对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$. 给出下列结论：①$abc ＜ 0$；②$b^{2}-4ac ＞ 0$；③$a + b + c = 0$；④$am^{2}+bm＜\frac{1}{4}(a - 2b)$（其中$m\neq-\frac{1}{2}$）；⑤ 若$A(x_{1},y_{1})$和$B(x_{2},y_{2})$两点均在该函数图像上，且$x_{1}＞x_{2}＞1$，则$y_{1}＞y_{2}$. 其中，正确的个数为_______.
　　　　　　　　　　　

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