7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=4，BD=16，将△ABO沿AC方向平移，得到△A'B'O'. 当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为 （ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
答案
C
8. 如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（-2，0），点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_______.
答案
$(-5,4)$
9. 如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE. 若∠ABC=140°，则∠OED的度数为_______.
答案
$20^{\circ}$
10. （2023·凉山）如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB，交AC于点E.
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB=10，AC=16，求OE的长.
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB=10，AC=16，求OE的长.
答案
（1）∵ $\angle CAB = \angle ACB$，∴ $AB = CB$. ∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，∴ $\square ABCD$ 是菱形. ∴ $AC\perp BD$ （2）设 $OE = x$.
∵ $\square ABCD$ 是菱形，$AC = 16$，∴ $OA = \frac{1}{2}AC = 8$. ∵ $AC\perp BD$，
∴ $\angle AOB = \angle BOE = 90^{\circ}$. ∴ 在 $Rt\triangle AOB$ 中，$OB = \sqrt{AB^{2}-OA^{2}} = \sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$. ∴ 在 $Rt\triangle EOB$ 中，$BE^{2} = OE^{2}+OB^{2} = x^{2}+6^{2}$. ∵ $BE\perp AB$，∴ $\angle EBA = 90^{\circ}$. ∴ 在 $Rt\triangle ABE$ 中，$BE^{2} = AE^{2}-AB^{2}=(8 + x)^{2}-10^{2}$. ∴ $x^{2}+6^{2}=(8 + x)^{2}-10^{2}$，解得 $x = \frac{9}{2}$. ∴ $OE$ 的长为 $\frac{9}{2}$
∵ $\square ABCD$ 是菱形，$AC = 16$，∴ $OA = \frac{1}{2}AC = 8$. ∵ $AC\perp BD$，
∴ $\angle AOB = \angle BOE = 90^{\circ}$. ∴ 在 $Rt\triangle AOB$ 中，$OB = \sqrt{AB^{2}-OA^{2}} = \sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$. ∴ 在 $Rt\triangle EOB$ 中，$BE^{2} = OE^{2}+OB^{2} = x^{2}+6^{2}$. ∵ $BE\perp AB$，∴ $\angle EBA = 90^{\circ}$. ∴ 在 $Rt\triangle ABE$ 中，$BE^{2} = AE^{2}-AB^{2}=(8 + x)^{2}-10^{2}$. ∴ $x^{2}+6^{2}=(8 + x)^{2}-10^{2}$，解得 $x = \frac{9}{2}$. ∴ $OE$ 的长为 $\frac{9}{2}$
11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点D作对角线BD的垂线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=16，BD=12，求△ADE的周长.
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=16，BD=12，求△ADE的周长.
答案
（1）∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，∴ $AB// CD$，$AC\perp BD$.
∴ $AE// CD$. 又∵ $DE\perp BD$，∴ $DE// AC$. ∴ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形 （2）∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$AC = 16$，$BD = 12$，
∴ $AC\perp BD$，$AD = CD$，$AO = \frac{1}{2}AC = 8$，$DO = \frac{1}{2}BD = 6$. ∴ 在 $Rt\triangle AOD$ 中，$AD = \sqrt{AO^{2}+DO^{2}} = 10$. ∴ $CD = 10$. ∵ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形，∴ $AE = CD = 10$，$DE = AC = 16$.
∴ $\triangle ADE$ 的周长为 $AD + AE + DE = 36$
∴ $AE// CD$. 又∵ $DE\perp BD$，∴ $DE// AC$. ∴ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形 （2）∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$AC = 16$，$BD = 12$，
∴ $AC\perp BD$，$AD = CD$，$AO = \frac{1}{2}AC = 8$，$DO = \frac{1}{2}BD = 6$. ∴ 在 $Rt\triangle AOD$ 中，$AD = \sqrt{AO^{2}+DO^{2}} = 10$. ∴ $CD = 10$. ∵ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形，∴ $AE = CD = 10$，$DE = AC = 16$.
∴ $\triangle ADE$ 的周长为 $AD + AE + DE = 36$
