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1. 如图是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的“弦图”,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,已知大正方形的面积为25,小正方形的面积为4,若a,b表示直角三角形的两直角边长(a＞b),给出下列四个结论：①$a^{2}+b^{2}= 25$；②$a-b= 2$；③$2ab= 21$；④$a+b= 7$.
其中,正确的结论有________.(填序号)
其中,正确的结论有________.(填序号)
答案
①②③
解析
大正方形面积为25，其边长为直角三角形斜边长，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=25$，①正确；小正方形面积为4，边长为$a - b$，则$(a - b)^{2}=4$，$a - b=2$（$a＞b$），②正确；大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，即$25=4×\frac{1}{2}ab + 4$，解得$2ab=21$，③正确；$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=25 + 21=46$，$a + b=\sqrt{46}≠7$，④错误。
2. 如图,数学家欧几里得利用该图验证了勾股定理.以Rt△ABC的三条边为边长向外作正方形ABED,正方形ACHI,正方形BCGF,连接CE.若BC= 8,AB= 10,作△BCE的边BC的高,可求得△BCE的面积为( )
A.40
B.32
C.24
D.18
A.40
B.32
C.24
D.18
答案
B
解析
在Rt△ABC中，BC=8，AB=10，由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(10²-8²)=6。
∵ABED是正方形，∴BE=AB=10，∠ABE=90°。
设∠ABC=α，在Rt△ABC中，cosα=BC/AB=8/10=4/5，故sinα=3/5。
∠CBE=∠ABC+∠ABE=α+90°，则sin∠CBE=sin(α+90°)=cosα=4/5。
△BCE中，BC=8，BE=10，BC边上的高h=BE·sin∠CBE=10×4/5=8。
∴△BCE面积=(BC·h)/2=(8×8)/2=32。
∵ABED是正方形，∴BE=AB=10，∠ABE=90°。
设∠ABC=α，在Rt△ABC中，cosα=BC/AB=8/10=4/5，故sinα=3/5。
∠CBE=∠ABC+∠ABE=α+90°，则sin∠CBE=sin(α+90°)=cosα=4/5。
△BCE中，BC=8，BE=10，BC边上的高h=BE·sin∠CBE=10×4/5=8。
∴△BCE面积=(BC·h)/2=(8×8)/2=32。
3. 青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的方法.如图,四边形ABCD,DEFG,CGHI均为正方形,“朱入”和“朱出”全等；同色的“青入”和“青出”全等.若正方形ABCD,CGHI的面积分别为$S_{1},S_{2}$,则正方形EFGD的面积= ______,AE= ______,AF= ______(用含$S_{1}和S_{2}$的代数式表示).
答案
S₁ - S₂；√(S₁ - S₂)；√S₂
解析
设正方形ABCD边长为a，CGHI边长为b，EFGD边长为c。由勾股定理及青朱出入图割补原理，S₁=a²，S₂=b²，且a²=b²+c²，故正方形EFGD面积c²=S₁-S₂。“青出”与“青入”全等，“朱出”与“朱入”全等，可知AF=b=√S₂，AE=c=√(S₁-S₂)。
