6. 如图,长方形E的长是宽的2倍,图中四边形A,B,C,D都是正方形,所有三角形都是直角三角形.已知正方形A,B,C的面积依次为5,23,10,则正方形D的面积为________.

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设长方形E的宽为x，长为2x，设某直角三角形公共直角边为p。
由正方形A、B面积及勾股定理：
对A所在直角三角形：$a^2 + p^2 = x^2$，即$5 + p^2 = x^2$ ①；
对B所在直角三角形：$b^2 + p^2 = (2x)^2$，即$23 + p^2 = 4x^2$ ②。
② - ①得：$18 = 3x^2$，解得$x^2 = 6$，代入①得$p^2 = 1$。
对C、D所在直角三角形：$c^2 + x^2 = d^2$（D为斜边），$c^2 = 10$，故$d^2 = 10 + 6 = 16$。

7. 在数轴上分别画出$\sqrt{5}$,$\sqrt{30}$对应的点.

①画长度为$\sqrt{5}$的线段：
在数轴上取一点$A$对应数$0$，过点$A$作垂直数轴的直线$l$，在直线$l$上取点$B$，使$AB = 1$和2（或其他如$AB=2 - 1$利用勾股定理计算斜边情况，这里以水平方向$1$，垂直方向$2$为例），连接$B$（假设水平距离$1$个单位，垂直距离$2$个单位）与数轴上点$A$水平距离$1$对应的点$C$（即数轴上$x = 1$的点），$△ ABC$中$AC = 1$，$BC=2$，根据勾股定理$AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，以$A$为圆心$AB$长为半径画弧交数轴正半轴于点$P$，点$P$对应的数就是$\sqrt{5}$。
②画长度为$\sqrt{30}$的线段：
在数轴上取一点$D$对应数$0$，过点$D$作垂直数轴的直线$m$，在直线$m$上取点$E$，使$DE$与数轴相关线段构成直角三角形，例如水平方向取$5$个单位长度到点$F$，垂直方向取$\sqrt{5}$长度（前面已作出$\sqrt{5}$对应的线段，可利用其长度），连接$E$与点$F$，根据勾股定理$EF=\sqrt{5^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{25 + 5}=\sqrt{30}$，以$D$为圆心$EF$长为半径画弧交数轴正半轴于点$Q$，点$Q$对应的数就是$\sqrt{30}$。

8. 如图,∠B= 90°,AD= 4,BD= 1,CD= 3,求AC的长.

√31

设AB的长为x。
在Rt△ABD中，∠B=90°，由勾股定理得：
AB² + BD² = AD²，即x² + 1² = 4²，
解得x² = 16 - 1 = 15。
BC = BD + CD = 1 + 3 = 4。
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
AC² = AB² + BC² = 15 + 4² = 15 + 16 = 31，
故AC = √31。

9. 如图,正方形ABCD的边长为2,其面积记为$S_1,$以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积记为$S_2,……$按照此规律继续下去,则$S_2₀_2_5$的值为________.

$\frac{1}{2^{2022}}$

正方形ABCD边长为2，$S_1=2^2=4$。以CD为斜边作等腰直角三角形，设直角边为a，由勾股定理$a^2+a^2=2^2$，得$2a^2=4$，$a^2=2$，则$S_2=a^2=2=\frac{S_1}{2}$。同理，后续每个正方形面积为前一个的$\frac{1}{2}$，即$S_n=4×(\frac{1}{2})^{n-1}$。当$n=2025$时，$S_{2025}=4×(\frac{1}{2})^{2024}=2^2×2^{-2024}=2^{-2022}=\frac{1}{2^{2022}}$。