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1. 在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率为 $ f $，概率为 $ P $。下列说法正确的是()
A.试验次数越多，$ f $ 越大
B.试验次数越多，$ P $ 越大
C.试验次数越多，$ f $ 一定越接近 $ P $
D.当试验次数很大时，$ f $ 在 $ P $ 附近摆动，并趋于稳定
A.试验次数越多，$ f $ 越大
B.试验次数越多，$ P $ 越大
C.试验次数越多，$ f $ 一定越接近 $ P $
D.当试验次数很大时，$ f $ 在 $ P $ 附近摆动，并趋于稳定
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确频率和概率的核心概念及两者关系：概率$P$是随机事件本身固有的属性，是一个固定不变的常数；频率$f$是事件发生的频数与试验总次数的比值，会随试验次数变化。接下来逐个分析选项：
1. 对于A选项，频率是比值，试验次数增多时，事件发生的频数增长幅度不一定匹配试验次数，频率可能变大、变小或波动，并非必然增大；
2. 对于B选项，概率是事件的固有属性，与试验次数无关，不会随试验次数变化；
3. 对于C选项，“一定越接近”的表述过于绝对，频率是围绕概率摆动，存在偶然波动，并非绝对趋近；
4. 对于D选项，符合频率稳定性定理，当试验次数很大时，频率会在概率附近摆动并趋于稳定，这是正确的逻辑。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：频率$f = \frac{\mathrm{事件发生的频数}}{\mathrm{试验总次数}}$，试验次数增多时，事件发生的频数与试验总次数的比值不一定增大，频率可能波动，故A错误；
选项B：概率$P$是随机事件的固有属性，是确定的常数，与试验次数无关，不会随试验次数增多而变大，故B错误；
选项C：试验次数越多，频率$f$会在概率$P$附近摆动，但“一定越接近”的表述绝对，存在偶然波动情况，故C错误；
选项D：根据频率稳定性定理，当试验次数很大时，频率$f$在概率$P$附近摆动，并趋于稳定，该表述正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系、频率稳定性定理
【点评】
本题聚焦频率与概率的核心概念辨析，重点考查两者的区别与联系，容易出错的点是混淆概率的固定性与频率的波动性，以及误判“一定”这类绝对表述。掌握基本概念是解题关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确频率和概率的核心概念及两者关系：概率$P$是随机事件本身固有的属性，是一个固定不变的常数；频率$f$是事件发生的频数与试验总次数的比值，会随试验次数变化。接下来逐个分析选项：
1. 对于A选项，频率是比值，试验次数增多时，事件发生的频数增长幅度不一定匹配试验次数，频率可能变大、变小或波动，并非必然增大；
2. 对于B选项，概率是事件的固有属性，与试验次数无关，不会随试验次数变化；
3. 对于C选项，“一定越接近”的表述过于绝对，频率是围绕概率摆动，存在偶然波动，并非绝对趋近；
4. 对于D选项，符合频率稳定性定理，当试验次数很大时，频率会在概率附近摆动并趋于稳定，这是正确的逻辑。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：频率$f = \frac{\mathrm{事件发生的频数}}{\mathrm{试验总次数}}$，试验次数增多时，事件发生的频数与试验总次数的比值不一定增大，频率可能波动，故A错误；
选项B：概率$P$是随机事件的固有属性，是确定的常数，与试验次数无关，不会随试验次数增多而变大，故B错误；
选项C：试验次数越多，频率$f$会在概率$P$附近摆动，但“一定越接近”的表述绝对，存在偶然波动情况，故C错误；
选项D：根据频率稳定性定理，当试验次数很大时，频率$f$在概率$P$附近摆动，并趋于稳定，该表述正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系、频率稳定性定理
【点评】
本题聚焦频率与概率的核心概念辨析，重点考查两者的区别与联系，容易出错的点是混淆概率的固定性与频率的波动性，以及误判“一定”这类绝对表述。掌握基本概念是解题关键。
【难度系数】
0.7
2. 一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 $ 20 $ 个，这些球除颜色外都相同。小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 $ 0.25 $ 左右，则袋子中红球的个数最有可能是()
A.$ 5 $
B.$ 10 $
C.$ 12 $
D.$ 15 $
A.$ 5 $
B.$ 10 $
C.$ 12 $
D.$ 15 $
答案
A
解析
【分析】
首先要明确频率与概率的关系：当试验次数足够多时，摸出红球的频率稳定值可近似看作摸出红球的概率。已知袋子中球的总数为20个，要求红球的个数，只需用总球数乘以红球的概率（即稳定的频率0.25），计算结果后对比选项就能得到答案。
【解析】
设袋子中红球的个数为$ x $。
由于多次试验后摸出红球的频率稳定在0.25左右，根据频率估计概率的原理，可知摸出红球的概率约为0.25。
根据概率公式$ P(\mathrm{摸出红球}) = \frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}} $，可列等式：
$ \frac{x}{20} = 0.25 $
解得：$ x = 20 × 0.25 = 5 $
因此袋子中红球的个数最有可能是5个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
频率估计概率，概率的基本计算
【点评】
本题考查频率与概率的关系，核心是利用频率的稳定值估计事件发生的概率，进而结合总数量计算特定对象的数量，属于基础题型，难度较低，需要学生理解频率与概率的内在联系并掌握基本的概率计算方法。
【难度系数】
0.9
首先要明确频率与概率的关系：当试验次数足够多时，摸出红球的频率稳定值可近似看作摸出红球的概率。已知袋子中球的总数为20个，要求红球的个数，只需用总球数乘以红球的概率（即稳定的频率0.25），计算结果后对比选项就能得到答案。
【解析】
设袋子中红球的个数为$ x $。
由于多次试验后摸出红球的频率稳定在0.25左右，根据频率估计概率的原理，可知摸出红球的概率约为0.25。
根据概率公式$ P(\mathrm{摸出红球}) = \frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}} $，可列等式：
$ \frac{x}{20} = 0.25 $
解得：$ x = 20 × 0.25 = 5 $
因此袋子中红球的个数最有可能是5个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
频率估计概率，概率的基本计算
【点评】
本题考查频率与概率的关系，核心是利用频率的稳定值估计事件发生的概率，进而结合总数量计算特定对象的数量，属于基础题型，难度较低，需要学生理解频率与概率的内在联系并掌握基本的概率计算方法。
【难度系数】
0.9
3. 在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中，小丽统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的事件可能是()
A.朝上的点数是 $ 5 $
B.朝上的点数是奇数
C.朝上的点数大于 $ 2 $
D.朝上的点数是 $ 3 $ 的倍数
A.朝上的点数是 $ 5 $
B.朝上的点数是奇数
C.朝上的点数大于 $ 2 $
D.朝上的点数是 $ 3 $ 的倍数
答案
D
解析
【分析】
首先明确：大量重复试验中，事件的频率会稳定在其概率附近。观察统计图可知，该结果的频率稳定在35%左右（约0.35）。接下来我们分别计算每个选项对应事件的概率，对比哪个概率与该稳定频率最接近，即可确定符合的事件。
【解析】
正六面体骰子的点数为1~6，分别计算各选项事件的概率：
1. 选项A：朝上点数是5，概率为$\frac{1}{6} \approx 0.17$，与稳定频率0.35相差较大；
2. 选项B：朝上点数是奇数（1、3、5），共3种情况，概率为$\frac{3}{6}=0.5$（即50%），与图中稳定频率不符；
3. 选项C：朝上点数大于2（3、4、5、6），共4种情况，概率为$\frac{4}{6} \approx 0.67$，远高于稳定频率；
4. 选项D：朝上点数是3的倍数（3、6），共2种情况，概率为$\frac{2}{6} \approx 0.33$，与图中稳定在35%左右的频率最接近，符合条件。
因此符合这一结果的事件是选项D。
【答案】
D
【知识点】
频率估计概率，骰子概率计算
【点评】
本题核心是利用“大量重复试验中频率稳定于概率”的原理，需要准确计算骰子各类事件的概率，并结合统计图的频率稳定值进行匹配，考查对频率与概率关系的理解及简单概率计算能力。
【难度系数】
0.7
首先明确：大量重复试验中，事件的频率会稳定在其概率附近。观察统计图可知，该结果的频率稳定在35%左右（约0.35）。接下来我们分别计算每个选项对应事件的概率，对比哪个概率与该稳定频率最接近，即可确定符合的事件。
【解析】
正六面体骰子的点数为1~6，分别计算各选项事件的概率：
1. 选项A：朝上点数是5，概率为$\frac{1}{6} \approx 0.17$，与稳定频率0.35相差较大；
2. 选项B：朝上点数是奇数（1、3、5），共3种情况，概率为$\frac{3}{6}=0.5$（即50%），与图中稳定频率不符；
3. 选项C：朝上点数大于2（3、4、5、6），共4种情况，概率为$\frac{4}{6} \approx 0.67$，远高于稳定频率；
4. 选项D：朝上点数是3的倍数（3、6），共2种情况，概率为$\frac{2}{6} \approx 0.33$，与图中稳定在35%左右的频率最接近，符合条件。
因此符合这一结果的事件是选项D。
【答案】
D
【知识点】
频率估计概率，骰子概率计算
【点评】
本题核心是利用“大量重复试验中频率稳定于概率”的原理，需要准确计算骰子各类事件的概率，并结合统计图的频率稳定值进行匹配，考查对频率与概率关系的理解及简单概率计算能力。
【难度系数】
0.7
4. 我们知道，一些科学家曾做过抛掷质地均匀的硬币的试验。有下列推断：① 当抛掷次数是 $ 10000 $ 时，“正面向上”的频率是 $ 0.4979 $，故“正面向上”的概率是 $ 0.4979 $；② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 $ 0.5 $ 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 $ 0.5 $；③ 如果在此条件下再次做随机抛掷硬币的试验，当抛掷次数为 $ 20000 $ 时，则出现“正面向上”的次数不一定是 $ 10000 $ 次。其中合理的推断有。
答案
②③
解析
【分析】
要判断这些推断是否合理，需明确频率与概率的区别和联系：概率是一个确定的理论值，反映事件发生的可能性大小；频率是通过试验得到的数值，会随着试验次数变化，但随着试验次数增加，频率会逐渐稳定在概率附近。
1. 对于推断①：抛掷10000次时的频率0.4979只是这次试验的结果，不能直接等同于概率，概率是理论上的0.5，所以①不合理。
2. 对于推断②：根据频率的稳定性，当试验次数增加时，频率在概率附近摆动，因此可以估计“正面向上”的概率是0.5，②合理。
3. 对于推断③：随机试验的结果具有随机性，即使抛掷次数为20000，“正面向上”的次数是随机的，不一定恰好是10000次，③合理。
【解析】
逐一分析各推断：
① 频率是试验后得到的实际值，概率是理论上的固定值，不能将某次试验的频率当作概率，故①不合理；
② 根据频率的稳定性定理，随着试验次数增加，频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以估计“正面向上”的概率为0.5，故②合理；
③ 随机事件的发生具有随机性，即使知道概率，也不能确定某次试验中事件发生的具体次数，所以抛掷20000次时，“正面向上”的次数不一定是10000次，故③合理。
综上，合理的推断是②③。
【答案】
②③
【知识点】
频率与概率的关系、随机事件的随机性
【点评】
本题主要考查频率与概率的核心概念，明确频率是试验的实际结果，概率是理论的固定值，以及随机事件的随机性是解题关键，有助于加深对概率本质的理解。
【难度系数】
0.7
要判断这些推断是否合理，需明确频率与概率的区别和联系：概率是一个确定的理论值，反映事件发生的可能性大小；频率是通过试验得到的数值，会随着试验次数变化，但随着试验次数增加，频率会逐渐稳定在概率附近。
1. 对于推断①：抛掷10000次时的频率0.4979只是这次试验的结果，不能直接等同于概率，概率是理论上的0.5，所以①不合理。
2. 对于推断②：根据频率的稳定性，当试验次数增加时，频率在概率附近摆动，因此可以估计“正面向上”的概率是0.5，②合理。
3. 对于推断③：随机试验的结果具有随机性，即使抛掷次数为20000，“正面向上”的次数是随机的，不一定恰好是10000次，③合理。
【解析】
逐一分析各推断：
① 频率是试验后得到的实际值，概率是理论上的固定值，不能将某次试验的频率当作概率，故①不合理；
② 根据频率的稳定性定理，随着试验次数增加，频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以估计“正面向上”的概率为0.5，故②合理；
③ 随机事件的发生具有随机性，即使知道概率，也不能确定某次试验中事件发生的具体次数，所以抛掷20000次时，“正面向上”的次数不一定是10000次，故③合理。
综上，合理的推断是②③。
【答案】
②③
【知识点】
频率与概率的关系、随机事件的随机性
【点评】
本题主要考查频率与概率的核心概念，明确频率是试验的实际结果，概率是理论的固定值，以及随机事件的随机性是解题关键，有助于加深对概率本质的理解。
【难度系数】
0.7
