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15. (★)下列方程是二元一次方程的个数为【 】
① $ x^{2} + y^{2} = 3 $；② $ 3x + \dfrac{2}{y} = 4 $；③ $ 2x + 3y = 0 $；④ $ \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 7 $。
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
① $ x^{2} + y^{2} = 3 $；② $ 3x + \dfrac{2}{y} = 4 $；③ $ 2x + 3y = 0 $；④ $ \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 7 $。
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
答案
B
解析
二元一次方程需满足的条件：（1）方程中含有两个未知数；（2）含未知数的项的次数都是一次；（3）方程是整式方程。
对于①$x^{2}+y^{2}=3$，未知数的次数是$2$，不是二元一次方程。
对于②$3x+\frac{2}{y}=4$，方程不是整式方程，$\frac{2}{y}$是分式，不是二元一次方程。
对于③$2x + 3y = 0$，含有两个未知数$x$和$y$，且含未知数的项的次数都是$1$，是整式方程，所以是二元一次方程。
对于④$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=7$，含有两个未知数$x$和$y$，且含未知数的项的次数都是$1$，是整式方程，所以是二元一次方程。
所以二元一次方程的个数是$2$个。
对于①$x^{2}+y^{2}=3$，未知数的次数是$2$，不是二元一次方程。
对于②$3x+\frac{2}{y}=4$，方程不是整式方程，$\frac{2}{y}$是分式，不是二元一次方程。
对于③$2x + 3y = 0$，含有两个未知数$x$和$y$，且含未知数的项的次数都是$1$，是整式方程，所以是二元一次方程。
对于④$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=7$，含有两个未知数$x$和$y$，且含未知数的项的次数都是$1$，是整式方程，所以是二元一次方程。
所以二元一次方程的个数是$2$个。
16. (★)写出方程 $ x + 2y = 5 $ 的正整数解：。
答案
因为$x=5 - 2y$，要使$x$为正整数，则$5 - 2y＞0$，即$2y ＜ 5$，$y＜\frac{5}{2}$。
又因为$y$为正整数，所以$y$的可能取值为$1$，$2$。
当$y = 1$时，$x=5 - 2×1 = 3$；
当$y = 2$时，$x=5 - 2×2 = 1$。
所以方程$x + 2y = 5$的正整数解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$，$\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$。
又因为$y$为正整数，所以$y$的可能取值为$1$，$2$。
当$y = 1$时，$x=5 - 2×1 = 3$；
当$y = 2$时，$x=5 - 2×2 = 1$。
所以方程$x + 2y = 5$的正整数解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$，$\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$。
17. (★)下列方程组是二元一次方程组的是【 】
A.$ \begin{cases} x = 5, \\ xy = 6 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ 4x - 5z = 6 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} 3x + 6y = 8, \\ 2x - 3y = 10 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} 4x + 5 = y, \\ x(x + 1) = 8 \end{cases} $
A.$ \begin{cases} x = 5, \\ xy = 6 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ 4x - 5z = 6 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} 3x + 6y = 8, \\ 2x - 3y = 10 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} 4x + 5 = y, \\ x(x + 1) = 8 \end{cases} $
答案
C
解析
二元一次方程组需满足：含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1。
A选项中“xy=6”未知数次数为2，不是二元一次方程；B选项含有三个未知数，不是二元；C选项符合二元一次方程组定义；D选项中“x(x+1)=8”展开后未知数次数为2，不是二元一次方程。
A选项中“xy=6”未知数次数为2，不是二元一次方程；B选项含有三个未知数，不是二元；C选项符合二元一次方程组定义；D选项中“x(x+1)=8”展开后未知数次数为2，不是二元一次方程。
18. (★)已知 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases} $ 是方程组 $ \begin{cases} ax - 3y = 1, \\ x + by = 5 \end{cases} $ 的解，则 $ \begin{cases} x = a, \\ y = b \end{cases} $ 是下列哪个方程的解【 】
A.$ 2x - y = 1 $
B.$ 5x + 2y = -4 $
C.$ 3x + 2y = 5 $
D.$ x + y = -5 $
A.$ 2x - y = 1 $
B.$ 5x + 2y = -4 $
C.$ 3x + 2y = 5 $
D.$ x + y = -5 $
答案
A
解析
将$x=2$，$y=1$代入方程组$\begin{cases}ax - 3y = 1 \\ x + by = 5\end{cases}$，得$\begin{cases}2a - 3×1 = 1 \\ 2 + b×1 = 5\end{cases}$。解得$a=2$，$b=3$，即$\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}$。分别代入选项：A. $2×2 - 3 = 1$，成立；B. $5×2 + 2×3 = 16≠ -4$；C. $3×2 + 2×3 = 12≠5$；D. $2 + 3 = 5≠ -5$。
19. (★)解下列方程组：
(1) $ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{7} = 7, \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = -1; \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} 3(y - 2) = x + 1, \\ 2(x - 1) = 5y - 8. \end{cases} $
(1) $ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{7} = 7, \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = -1; \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} 3(y - 2) = x + 1, \\ 2(x - 1) = 5y - 8. \end{cases} $
答案
(1)
首先将方程组$\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{7}=7\\\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=-1\end{cases}$化简：
方程$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{7}=7$两边同时乘以$21$得$7x + 3y = 147$ ①；
方程$\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=-1$两边同时乘以$6$得$3x - 2y = - 6$ ②；
①$×2$得$14x+6y = 294$ ③；
②$×3$得$9x - 6y=-18$ ④；
③ + ④得$14x + 6y+9x - 6y=294-18$，
$23x = 276$，
解得$x = 12$；
把$x = 12$代入①得$7×12 + 3y = 147$，
$84+3y = 147$，
$3y = 147 - 84$，
$3y = 63$，
解得$y = 21$；
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 12\\y = 21\end{cases}$。
(2)
先将方程组$\begin{cases}3(y - 2)=x + 1\\2(x - 1)=5y - 8\end{cases}$化简：
方程$3(y - 2)=x + 1$去括号得$3y-6 = x + 1$，移项得$x-3y=-7$ ①；
方程$2(x - 1)=5y - 8$去括号得$2x-2 = 5y - 8$，移项得$2x-5y=-6$ ②；
由①得$x = 3y - 7$ ③；
把③代入②得$2(3y - 7)-5y=-6$，
$6y-14 - 5y=-6$，
$y-14=-6$，
$y=-6 + 14$，
解得$y = 8$；
把$y = 8$代入③得$x = 3×8-7$，
$x = 24 - 7$，
解得$x = 17$；
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 17\\y = 8\end{cases}$。
首先将方程组$\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{7}=7\\\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=-1\end{cases}$化简：
方程$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{7}=7$两边同时乘以$21$得$7x + 3y = 147$ ①；
方程$\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=-1$两边同时乘以$6$得$3x - 2y = - 6$ ②；
①$×2$得$14x+6y = 294$ ③；
②$×3$得$9x - 6y=-18$ ④；
③ + ④得$14x + 6y+9x - 6y=294-18$，
$23x = 276$，
解得$x = 12$；
把$x = 12$代入①得$7×12 + 3y = 147$，
$84+3y = 147$，
$3y = 147 - 84$，
$3y = 63$，
解得$y = 21$；
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 12\\y = 21\end{cases}$。
(2)
先将方程组$\begin{cases}3(y - 2)=x + 1\\2(x - 1)=5y - 8\end{cases}$化简：
方程$3(y - 2)=x + 1$去括号得$3y-6 = x + 1$，移项得$x-3y=-7$ ①；
方程$2(x - 1)=5y - 8$去括号得$2x-2 = 5y - 8$，移项得$2x-5y=-6$ ②；
由①得$x = 3y - 7$ ③；
把③代入②得$2(3y - 7)-5y=-6$，
$6y-14 - 5y=-6$，
$y-14=-6$，
$y=-6 + 14$，
解得$y = 8$；
把$y = 8$代入③得$x = 3×8-7$，
$x = 24 - 7$，
解得$x = 17$；
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 17\\y = 8\end{cases}$。
