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1. (★)已知四边形 $ABCD$ 中，$AC ⊥ BD$，$AC = 4$，$BD = 5$，那么这个四边形的面积等于。
答案
10
解析
设AC与BD相交于点O。因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积等于△ABC和△ADC的面积之和。
S△ABC = 1/2 × AC × BO，S△ADC = 1/2 × AC × DO，
则四边形ABCD的面积 = S△ABC + S△ADC = 1/2 × AC × (BO + DO) = 1/2 × AC × BD = 1/2 × 4 × 5 = 10。
S△ABC = 1/2 × AC × BO，S△ADC = 1/2 × AC × DO，
则四边形ABCD的面积 = S△ABC + S△ADC = 1/2 × AC × (BO + DO) = 1/2 × AC × BD = 1/2 × 4 × 5 = 10。
2. (★)在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫作，其中是最简单的多边形。如果一个多边形由 $n$ 条线段组成，那么这个多边形就叫作。
答案
多边形；三角形 ；$n$边形
解析
根据多边形的定义，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，其中三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由$n$条线段组成，那么这个多边形就叫做$n$边形。
3. (★)各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作。
答案
正多边形
解析
根据多边形的定义，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形。
4. (★)(1)从五边形的一个顶点出发可以引条对角线；
(2)正六边形的边长是 $1$，则这个正六边形的周长是。
(2)正六边形的边长是 $1$，则这个正六边形的周长是。
答案
(1)2；(2)6
解析
(1)从$n$边形的一个顶点出发，可以引出$(n - 3)$条对角线，当$n = 5$时，$5-3=2$。
(2)正六边形的周长等于边长乘以边数，已知正六边形边长为$1$，边数为$6$，所以周长为$1×6 = 6$。
(2)正六边形的周长等于边长乘以边数，已知正六边形边长为$1$，边数为$6$，所以周长为$1×6 = 6$。
5. (★)对于多边形的外角，最准确的叙述是【 】
A.内角的对顶角
B.内角的邻角
C.与内角有公共顶点的角
D.内角的邻补角
A.内角的对顶角
B.内角的邻角
C.与内角有公共顶点的角
D.内角的邻补角
答案
D
解析
多边形的外角是指多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角，即与内角有一条公共边且另一边互为反向延长线，所以外角是内角的邻补角。选项A中对顶角与内角顶点相同但两边互为反向延长线，不符合；选项B邻角不一定互补；选项C与内角有公共顶点的角范围过大。故最准确的是D。
6. (★)如图，下列图形是正多边形的是【 】
答案
C
解析
正多边形是所有边和所有角都相等的多边形。选项A是梯形，边和角不全相等，不是正多边形；选项B是五边形，边和角不全相等（或直观上看各边不等长），不是正多边形；选项C是六边形，所有边和所有角都相等，是正多边形；选项D是矩形与三角形的组合图形，不是多边形，更不是正多边形。
7. (★)(2025·河南)如图，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为【 】
A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$130^{\circ}$
A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$130^{\circ}$
答案
B
解析
由图可知，量角器的0°刻度线与六边形一边重合，另一边对应的刻度为110°，故所量内角的度数为110°。
8. (★)已知一个多边形的每个外角都等于 $60^{\circ}$，则该多边形的边数是【 】
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
答案
C
解析
因为多边形的外角和为$360^{\circ}$，每个外角都等于$60^{\circ}$，所以边数为$360^{\circ} ÷ 60^{\circ} = 6$。
9. (★★)若一个多边形的每个内角都是 $140^{\circ}$，则这个多边形的边数为。
答案
9（填具体数字，本题非选择题）
解析
设多边形的边数为 $n$，由于多边形内角和公式为 $(n-2) × 180^{\circ}$，且题目给出每个内角都是 $140^{\circ}$，因此多边形的内角和也可以表示为 $140^{\circ} × n$。
建立方程：
$(n-2) × 180^{\circ} = 140^{\circ} × n$，
展开并化简方程：
$180n - 360 = 140n$，
$40n = 360$，
$n = 9$。
所以，这个多边形的边数为9。
建立方程：
$(n-2) × 180^{\circ} = 140^{\circ} × n$，
展开并化简方程：
$180n - 360 = 140n$，
$40n = 360$，
$n = 9$。
所以，这个多边形的边数为9。
10. (★★)如图，五个半径为 $2$ 的圆，圆心分别是点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，则图中阴影部分的面积和是。
答案
6π
解析
由图可知阴影部分为五个扇形，圆心分别为A、B、C、D、E，半径均为2。这些扇形的圆心角之和等于五边形ABCDE的内角和。五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$。扇形面积公式为$\frac{θ}{360°}×π r^2$，阴影总面积为$\frac{540°}{360°}×π×2^2=6π$。
11. (★★)若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为【 】
A.$4$ 或 $5$
B.$3$ 或 $4$
C.$3$ 或 $4$ 或 $5$
D.$4$ 或 $5$ 或 $6$
A.$4$ 或 $5$
B.$3$ 或 $4$
C.$3$ 或 $4$ 或 $5$
D.$4$ 或 $5$ 或 $6$
答案
C
解析
一个多边形截去一个角有三种情况：
1. 若截去角时不经过相邻两边的顶点，则边数增加1；
2. 若截去角时经过一个相邻顶点，则边数不变；
3. 若截去角时经过相邻两顶点（即截掉一个顶点），则边数减少1。
题目要求截去一个角后变为四边形（4条边），则原多边形可能的边数为：
若原边数为3，截后可能变为4（第三种情况）；
若原边数为4，截后可能仍为4（第二种情况）；
若原边数为5，截后可能变为4（第一种情况）。
因此，原多边形边数可能为3、4或5。
1. 若截去角时不经过相邻两边的顶点，则边数增加1；
2. 若截去角时经过一个相邻顶点，则边数不变；
3. 若截去角时经过相邻两顶点（即截掉一个顶点），则边数减少1。
题目要求截去一个角后变为四边形（4条边），则原多边形可能的边数为：
若原边数为3，截后可能变为4（第三种情况）；
若原边数为4，截后可能仍为4（第二种情况）；
若原边数为5，截后可能变为4（第一种情况）。
因此，原多边形边数可能为3、4或5。
12. (★★)过 $m$ 边形的一个顶点能作 $7$ 条对角线，$n$ 边形没有对角线，$k$ 边形有 $k$ 条对角线，则 $(m - k)^n$ 的值为。
答案
125
解析
1. 过 $m$ 边形的一个顶点能作 $7$ 条对角线，由公式 $m-3=7$，解得 $m=10$。
2. $n$ 边形没有对角线，即三角形，$n=3$。
3. $k$ 边形有 $k$ 条对角线，由公式 $\frac{k(k-3)}{2}=k$，解得 $k=5$。
4. 代入 $(m-k)^n=(10-5)^3=125$。
