6. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ABC = 90°$，点 $D$，$E$ 分别是边 $BC$，$AC$ 的中点，连接 $ED$ 并延长到点 $F$，使 $DF = ED$，连接 $BE$，$BF$，$CF$，$AD$.
(1) 求证：四边形 $BFCE$ 是菱形.
(2) 若 $BC = 6$，$EF = 3$，求 $AD$ 的长.

6.（1）证明：
∵点 D 是 BC 的中点，
∴BD=CD.
∵DF=ED，
∴四边形 BFCE 是平行四边形.
∵点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE//AB，
∴∠CDE=∠ABC=90°，即 DE⊥BC，
∴四边形 BFCE 是菱形.
（2）解：
∵BC=6，EF=3，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3，ED=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{3}{2}$.
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴AB=2DE=3，
∴AD=$\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=3\sqrt{2}$.

【解析】
（1）证明：
因为点$D$是$BC$的中点，所以$BD = CD$。
又因为$DF = ED$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以四边形$BFCE$是平行四边形。
因为点$D$，$E$分别是边$BC$，$AC$的中点，所以$DE$是$△ ABC$的中位线，根据中位线定理，$DE// AB$。
因为$∠ ABC = 90°$，所以$∠ CDE=∠ ABC = 90°$，即$DE⊥ BC$。
根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以四边形$BFCE$是菱形。
（2）解：
因为$BC = 6$，$EF = 3$，
所以$BD=\frac{1}{2}BC = 3$，$ED=\frac{1}{2}EF=\frac{3}{2}$。
因为$DE$是$△ ABC$的中位线，所以$AB = 2DE = 3$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{2}$。
【答案】
（1）证明过程如上述解析；（2）$AD$的长为$3\sqrt{2}$。
【知识点】
菱形的判定、中位线定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查了菱形的判定、中位线定理和勾股定理的应用，第一问通过平行四边形和对角线垂直来判定菱形，第二问利用中位线定理和勾股定理求解线段长度，考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4

7. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC = 90°$，点 $D$ 为 $AC$ 的中点，以 $BC$，$CD$ 为一组邻边作平行四边形 $BCDE$，$ED$ 与 $AB$ 交于点 $O$，连接 $AE$，$BD$.
(1) 求证：四边形 $AEBD$ 是菱形.
(2) 若 $BC = 4\sqrt{3}$，$∠ EAD = 120°$，求菱形 $AEBD$ 的面积.

7.（1）证明：在△ABC 中，∠ABC=90°，点 D 为 AC 的中点，
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$AC.
∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴BE=CD，BE//CD，
∴BE=AD，BE//AD，
∴四边形 AEBD 是平行四边形.
∵AD=BD，
∴四边形 AEBD 是菱形.
（2）解：
∵BC=4$\sqrt{3}$，四边形 BCDE 是平行四边形，
∴DE=BC=4$\sqrt{3}$.
∵四边形 AEBD 是菱形，
∴AB⊥DE，OE=$\frac{1}{2}$DE=2$\sqrt{3}$，∠EAO=$\frac{1}{2}$∠DAE=60°，
∴∠AEO=30°，
∴AE=2AO.
∵AE²=AO²+OE²，
∴(2AO)²=AO²+(2$\sqrt{3}$)²，
∴AO=2，
∴AB=4，
∴S_{菱形 AEBD}=$\frac{1}{2}$AB·DE=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$.