4. 如图1-3-3，笔直的河流一侧有一营地 C，河边有两个漂流点 A，B，其中 AB=AC，由于周边施工，由 C到 A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点 H(A，H，B在同一直线上)，并新修一条路 CH，测得 BC= 10 km，CH=8 km，BH=6 km，则原路 AC的长为_______km。

4. $\frac{25}{3}$

5. 写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是 $ 4 5° $ ”的逆命题，并证明这个命题是真命题。

5. 解：逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是$45°$，那么这个三角形是直角三角形。
已知：如答图1-3-1，在$△ ABC$中，$BE$是$∠ ABC$的平分线，交$AC$于点$E$，$AD$是$∠ CAB$的平分线，交$BC$于点$D$，$BE$和$AD$相交于点$O$，且$∠ EOA=45°$。

求证：$△ ABC$是直角三角形。
证明：$\because BE$是$∠ ABC$的平分线，$AD$是$∠ CAB$的平分线，
$\therefore ∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBA$。
$\therefore ∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)$。
$\therefore 180°-∠ AOB=\frac{1}{2}(180°-∠ C)$。
$\therefore ∠ AOB=90°+\frac{1}{2}∠ C$。
又$\because ∠ EOA=45°$，
$\therefore ∠ AOB=135°=90°+\frac{1}{2}∠ C$。$\therefore ∠ C=90°$。
$\therefore △ ABC$是直角三角形。

6. 为了绿化环境，我区某中学有一块四边形空地ABCD，如图1-3-4所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量， $ ∠ ADC=90° $ $ CD=3 $ m， $ AD=4 $ m， $ AB=13 $ m， $ BC=12 $ m。
(1) 求空地ABCD的面积；
(2) 若每种植 $ 1 \mathrm{~m}^{2} $的草皮需要400元，问总共需要多少元？

6. 解：(1)如答图1-3-2，连接$AC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=5\ \mathrm{m}$，
$\because AC^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。$\therefore ∠ ACB=90°$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ACB}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· BC-\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×3×4=24(\mathrm{m}^{2})$。
$\therefore$空地$ABCD$的面积为$24\ \mathrm{m}^{2}$。

(2)总共需要$24×400=9600$(元)。

1. 如图1-3-5，在 $ 4×4 $的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1。
(1) 求 $ △ ABC $的周长； (2) 求证： $ ∠ A B C=9 0° $
(3) 若点 P为直线AC上任意一点，求出线段 BP的长度的最小值。

1. (1)解：易得$AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，
$\therefore △ ABC$的周长$=2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=3\sqrt{5}+5$。
(2)证明：易得$AC^{2}=25$，$AB^{2}=20$，$BC^{2}=5$，
$\therefore AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$。
$\therefore ∠ ABC=90°$。
(3)解：如答图1-3-3，过点$B$作$BP⊥ AC$于点$P$，此时线段$BP$的长度最小。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BP$，
$\therefore \frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×5· BP$，解得$BP=2$。
$\therefore$线段$BP$的长度的最小值为2。