2. 如图1-3-6，已知等边三角形ABC，D为 $ △ ABC $内的一点，连接DA，DB，DC， $ ∠ A D B= $ $ 1 5 0° $ ，以CD为边在CD的上方作等边三角形CDE，连接AE $ (0°＜∠ A C E＜6 0°)。 $
(1) 求证： $ △ B D C≌ △ A E C。 $
(2) 请判断 $ △ A D E $的形状，并证明你的结论。
(3) 若 $ AD=AE $ ， $ CD=2a $ ，求 $ ∠ ACD $的度数及 $ △ ABD $的面积。（用含 a的代数式表示）

2. (1)证明：$\because △ EDC$为等边三角形，
$\therefore ∠ ECD=60°$，$CD=CE$。
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore ∠ ACB=60°$，$CB=CA$。
$\therefore ∠ ACB-∠ ACD=∠ ECD-∠ ACD$，
即$∠ DCB=∠ ECA$。
在$△ BDC$和$△ AEC$中，
$\because CD=CE$，$∠ DCB=∠ ECA$，$CB=CA$，
$\therefore △ BDC≌△ AEC(\mathrm{SAS})$。
(2)解：$△ ADE$为直角三角形。
证明：设$∠ ABD=x$，则$∠ DBC=60°-x$。
由(1)可知$∠ EAC=∠ DBC=60°-x$。
$\because ∠ ADB=150°$，
$\therefore ∠ DAB=180°-150°-x=30°-x$。
$\because ∠ CAB=60°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ CAB-∠ DAB=60°-(30°-x)=30°+x$。
$\therefore ∠ DAE=∠ EAC+∠ DAC=90°$，
$\therefore △ ADE$为直角三角形。
(3)解：$\because △ EDC$为等边三角形，
$\therefore ∠ ECD=60°$，$CE=DE=CD=2a$。
在$△ ADC$和$△ AEC$中，
$\because AD=AE$，$DC=EC$，$CA=CA$，
$\therefore △ ADC≌△ AEC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ EAC=∠ DAC=45°$，$∠ ACE=∠ ACD=30°$。
$\therefore ∠ DAB=∠ BAC-∠ DAC=15°$。
$\because AE=AD$，$∠ EAD=90°$，$DE=2a$，
$\therefore AE=AD=\sqrt{2}a$。
如答图1-3-4，过点$B$作$AD$的垂线交$AD$的延长线于点$F$。
$\because ∠ ADB=150°$，$\therefore ∠ BDF=30°$。
$\therefore ∠ ABD=∠ BDF-∠ BAD=15°$。
$\therefore ∠ DAB=∠ DBA$。$\therefore DB=DA=\sqrt{2}a$。
$\therefore BF=\frac{1}{2}DB=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BF=\frac{1}{2}·\sqrt{2}a·\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{1}{2}a^{2}$。

3. 【问题探究】（1）如图1-3-7 $ \textcircled{1} $ ，BD为四边形ABCD的对角线，BD $ \bot $ CD，若AB=8，AD=6， $ BC=5\sqrt{5} $ ，CD=5，试求四边形ABCD的面积；
【问题解决】（2）如图1-3-7 $ \textcircled{2} $ ，四边形ABCD是某县一座全民健身中心的平面示意图，AC，AE，EF为三条走廊（点E和点F分别在边BC和AB上）， $ AD=60\mathrm{m} $ ， $ CD=AE=40\mathrm{m} $ $ CE=20\mathrm{m} $ ， $ BE=30\mathrm{m} $ ， $ AC\bot CD $ ， $ EF\bot AB $ ，求EF的长；
(3) 随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对（2）中的全民健身中心（如图1-3-7 $ \textcircled{2} $ ）进行重新规划，在 AB上取点 H，并将 $ △ BEH $ 区域修建为功能训练区，根据设计要求， $ △ BEH $ 应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的 AH的长。

3. 解：(1)由题意，得$∠ BDC=90°$。
$\because BC=5\sqrt{5}$，$CD=5$，$\therefore BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=10$。
$\because BD=10$，$AB=8$，$AD=6$，
$\therefore AB^{2}+AD^{2}=8^{2}+6^{2}=100=BD^{2}$。
$\therefore △ ABD$是直角三角形，且$∠ A=90°$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×8×6+\frac{1}{2}×5×10=49$。
(2)$\because AC⊥ CD$，$\therefore ∠ ACD=90°$，
$\therefore AC=\sqrt{AD^{2}-CD^{2}}=20\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
$\because AC=20\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$AE=40\ \mathrm{m}$，$CE=20\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC^{2}=AE^{2}+CE^{2}$。
$\therefore △ ACE$是直角三角形，且$∠ AEC=90°$。
$\therefore ∠ AEB=90°$，$△ ABE$是直角三角形。
$\because AE=40\ \mathrm{m}$，$BE=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=50\ \mathrm{m}$。
$\because EF⊥ AB$，$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AE· BE=\frac{1}{2}AB· EF$。
$\therefore \frac{1}{2}×40×30=\frac{1}{2}×50× EF$，解得$EF=24$。
$\therefore EF$的长为$24\ \mathrm{m}$。
(3)①当$BE=BH$时，如答图1-3-5，点$H$在$H_{1}$的位置。$\because BE=30\ \mathrm{m}$，$\therefore BH_{1}=30\ \mathrm{m}$。
$\therefore AH_{1}=AB-BH_{1}=20\ \mathrm{m}$。
②当$EB=EH$时，如答图1-3-5，点$H$在$H_{2}$的位置。
$\because BE=30\ \mathrm{m}$，$EF=24\ \mathrm{m}$，$EF⊥ AB$，
$\therefore BF=\sqrt{BE^{2}-EF^{2}}=18\ \mathrm{m}$。
由题意，得$H_{2}F=BF=18\ \mathrm{m}$。
$\therefore AH_{2}=AB-BH_{2}=50-(18+18)=14(\mathrm{m})$。
③当$HB=HE$时，如答图1-3-5，点$H$在$H_{3}$的位置。

设$H_{3}F=x\ \mathrm{m}$，则$H_{3}E=H_{3}B=(18+x)\ \mathrm{m}$。
$\because H_{3}E^{2}=H_{3}F^{2}+EF^{2}$，
$\therefore (18+x)^{2}=x^{2}+24^{2}$，
解得$x=7$，即$H_{3}F=7\ \mathrm{m}$。
$\therefore AH_{3}=AB-BH_{3}=50-(18+7)=25(\mathrm{m})$。
综上可知，$AH$的长为$20\ \mathrm{m}$或$14\ \mathrm{m}$或$25\ \mathrm{m}$。