9. (2024·广西)如图所示,2 时整,钟表的时针和分针所成的锐角为( )


A.$20^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

C

【分析】
要解这道题，首先要明确钟表表盘的角度特征：整个表盘是周角，总度数为360°，被平均分成了12个大格，我们可以先计算出每个大格对应的角度。再观察2时整时针和分针的位置，数出二者之间间隔的大格数，用间隔数乘每个大格的角度，就能得到所求的锐角度数。
【解析】
解：
∵ 整个钟表表盘为周角，度数是360°，且表盘被平均分为12个大格，
∴ 每个大格对应的角度为：$360°÷12=30°$。
2时整时，分针指向12，时针指向2，时针与分针之间共间隔2个大格，
∴ 二者所成的锐角度数为：$2×30°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
钟面角计算；角的度量
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题的关键是掌握钟表表盘每个大格对应的角度，结合时针和分针的间隔数即可快速求解，是钟表角度类题型的常考基础题。
【难度系数】
0.85

10. 如图所示,点 A,O,E 在同一直线上,∠AOB = $38^{\circ}$,∠EOD = $28^{\circ}46'$,∠COE = 2∠DOE,则∠COB = ______.

84°28′

【分析】
首先观察图形，点A、O、E共线，根据平角定义可知∠AOE=180°。要求∠COB，需先求出∠COE的度数：题目已知∠COE=2∠DOE，且给出了∠EOD的具体度数，先据此计算出∠COE，再利用∠AOB+∠COB+∠COE=180°，即可求出∠COB的度数，计算时注意度分秒为60进制，满60要向高一级单位进1。
【解析】
解：
∵点A，O，E在同一直线上
∴∠AOE=180°（平角的定义）
∵∠EOD=28°46′，∠COE=2∠DOE
∴∠COE=2×28°46′=56°92′=57°32′
又
∵∠AOB+∠COB+∠COE=∠AOE=180°，∠AOB=38°
∴∠COB=180°-∠AOB-∠COE
=180°-38°-57°32′
=142°-57°32′
=141°60′-57°32′
=84°28′
【答案】
84°28′
【知识点】
平角的定义；度分秒的运算；角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度运算题，解题的关键是结合图形理清各个角之间的和差关系，计算时要注意度分秒的进制是60，避免换算出错。
【难度系数】
0.75

11. 如图所示,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于点 O. 若∠AOC = $130^{\circ}$,则∠BOD 等于( )

A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

C

【分析】
首先明确一副三角板的两个直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°。解题时可以先通过∠AOC与∠AOB的度数差求出∠BOC的度数，再用∠COD减去∠BOC即可得到∠BOD的度数；也可直接推导得到∠AOC与∠BOD的和为180°，代入已知数值直接计算。
【解析】
解：由三角板的特征可知，∠AOB=90°，∠COD=90°。
∵∠AOC=130°，
∴∠BOC=∠AOC - ∠AOB=130° - 90°=40°，
∴∠BOD=∠COD - ∠BOC=90° - 40°=50°。
【答案】
C
【知识点】
角的和差计算，直角的性质，三角板角度特征
【点评】
本题考查角度的和差运算，解题的关键是理清重叠后各角之间的数量关系，结合三角板的直角特征即可快速求解，解题时也可记住该类题型的结论：两个直角顶点重合时，不重叠的两个大角的和为180°。
【难度系数】
0.8

12. 如图所示,点 O 是直线 AB 上一点,OC 平分∠AOE,∠DOE = $90^{\circ}$,则有以下结论：
① ∠AOD 与∠BOE 互为余角；
② ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠COE；
③ ∠BOE = 2∠COD；
④ 若∠BOE = $58^{\circ}$,则∠COE = $61^{\circ}$. 其中正确的是( )

A.只有①④
B.只有①③④
C.只有③④
D.①②③④

B

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先点O在直线AB上，可得∠AOB是180°平角，结合已知∠DOE=90°先判断结论①；再利用OC平分∠AOE的性质，得到∠AOC和∠COE相等，通过角的和差关系逐一验证剩余三个结论，判断正误后选出正确选项。
【解析】
解：
∵点O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
1. 验证结论①：
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD + ∠BOE = 180° - ∠DOE = 90°，
∴∠AOD与∠BOE互为余角，故①正确；
2. 验证结论②：
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠COE=½∠AOE，
∠AOD=∠AOC - ∠COD=∠COE - ∠COD，
无额外条件证明∠COD=½∠COE，故②错误；
3. 验证结论③：
∵∠AOE=180° - ∠BOE，OC平分∠AOE，
∴∠COE=½∠AOE=½(180° - ∠BOE)=90° - ½∠BOE，
又
∵∠DOE=90°，
∴∠COD + ∠COE = 90°，
将∠COE代入得：∠COD + 90° - ½∠BOE = 90°，
整理得∠COD=½∠BOE，即∠BOE=2∠COD，故③正确；
4. 验证结论④：
若∠BOE=58°，则∠AOE=180° - 58°=122°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠COE=½×122°=61°，故④正确。
综上，正确的结论是①③④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，平角的性质
【点评】
本题是角的关系综合题，需要结合图形分析各角的和差关系，逐个验证结论，解题时注意利用已知的特殊角和角平分线的性质建立角之间的等量关系。
【难度系数】
0.7

13. 如图所示,∠AOB 是直角,射线 OC 从 OA 出发,以每秒 $8^{\circ}$的速度沿顺时针方向转动；射线 OD 从 OB 出发,以每秒 $2^{\circ}$的速度沿逆时针方向转动. 当 OC 与 OA 成一条直线时停止转动.
(1) ______s 时,OC 与 OD 重合；
(2) 当 OC 与 OD 的夹角是 $30^{\circ}$时,求转动的时间；
(3) 若 OB 平分∠COD,求转动的时间,并画出此时的 OC 与 OD,写出图中∠AOD 的余角.

13.解:
(1)9
(2)设转动ts时，OC与OD的夹角是30°.
　根据题意，得8t+2t=90−30或8t+2t=90+30,
　解得t=6或t=12.
　故当转动6s或12s时，OC与OD的夹角是30°.
(3)设转动ms时,OB平分∠COD,
　则8m−90=2m,
　解得m=15.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 故转动15s时，OB平分∠COD.
　此时，OC和OD的位置如图所示，∠AOD
　的余角有∠BOD和∠BOC.

【分析】
这是动态转动的角度计算问题，解题时先明确核心条件：初始∠AOB=90°，OC以8°/s顺时针转动，OD以2°/s逆时针转动，OC最多转动到与OA成平角（总转动180°，运动时长上限为180÷8=22.5s）。
(1) OC和OD相向转动，重合时二者转动的角度和刚好等于初始夹角90°，用角度和除以速度和即可得到时间；
(2) 夹角为30°需分两类讨论：①两射线未相遇，此时角度和为90°-30°；②两射线相遇后错开，此时角度和为90°+30°，分别列方程求解即可；
(3) OB平分∠COD时，OC已转到OB下方，此时∠BOC=∠BOD，∠BOD是OD转动的度数，∠BOC是OC转动总度数减去∠AOB的90°，列等式求解即可；再根据余角定义找出∠AOD的余角。
【解析】
(1) 设t秒时OC与OD重合，由二者转动角度和为90°可得：
$8t+2t=90$
解得$t=9$。
(2) 设转动$t$ s时，OC与OD的夹角是$30°$，分两种情况：
① 两射线未相遇，夹角为$30°$：
$8t+2t=90-30$
解得$t=6$
② 两射线相遇后错开，夹角为$30°$：
$8t+2t=90+30$
解得$t=12$
两个解均小于22.5s，均符合要求。
(3) 设转动$m$ s时，OB平分∠COD，此时$∠BOD=2m$，OC转动总角度为$8m$，因此$∠BOC=8m-90°$，由角平分线性质得$∠BOD=∠BOC$，列方程：
$8m-90=2m$
解得$m=15$，符合运动时长要求。
此时$∠AOD+∠BOD=90°$，且$∠BOD=∠BOC$，因此∠AOD的余角为∠BOD、∠BOC。
【答案】
(1) $\boxed{9}$
(2) 转动的时间为$\boxed{6s}$或$\boxed{12s}$
(3) 转动的时间为$\boxed{15s}$，此时OC与OD位置如图，∠AOD的余角为$\boxed{∠BOD}$和$\boxed{∠BOC}$
【知识点】
动态角计算，角平分线的性质，余角的定义
【点评】
本题是动态角的典型应用题，解题时需要结合运动过程分类讨论不同位置情况，避免漏解，同时考查了角平分线、余角的相关性质，能有效锻炼数形结合与分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6