例3 对多项式$x - y - z - m - n$任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简,称为“加算操作”。例如,$(x - y) - (z - m - n) = x - y - z + m + n$,$x - y - (z - m) - n = x - y - z + m - n$,…,给出下列说法：
① 至少存在一种“加算操作”,使其结果与原多项式相等；
② 不存在任何“加算操作”,使其结果与原多项式之和为0；
③ 所有的“加算操作”共有8种不同的结果。
其中正确的个数为( )。

A.0
B.1
C.2
D.3
[解答]① 如$(x - y) - z - m - n = x - y - z - m - n$,$(x - y - z) - m - n = x - y - z - m - n$,故①符合题意。②$x - y - z - m - n的相反数为-x + y + z + m + n$,不论怎么加括号都得不到这个代数式,故②符合题意。③ 第1种：结果与原多项式相等；第2种：$x - (y - z) - m - n = x - y + z - m - n$；第3种：$x - (y - z) - (m - n) = x - y + z - m + n$；第4种：$x - (y - z - m) - n = x - y + z + m - n$；第5种：$x - (y - z - m - n) = x - y + z + m + n$；第6种：$x - y - (z - m) - n = x - y - z + m - n$；第7种：$x - y - (z - m - n) = x - y - z + m + n$；第8种：$x - y - z - (m - n) = x - y - z - m + n$,故③符合题意。正确的个数为3。
[答案]D

D

①如$(x - y) - z - m - n = x - y - z - m - n$，与原多项式相等，①正确；②原多项式结果中$x$系数为1，其相反数需$x$系数为$-1$，加算操作无法改变$x$符号，故不存在，②正确；③不同结果有：原多项式、$x - y + z - m - n$、$x - y + z - m + n$、$x - y + z + m - n$、$x - y + z + m + n$、$x - y - z + m - n$、$x - y - z + m + n$、$x - y - z - m + n$，共8种，③正确。正确个数为3。

1. 下列去括号中,结果正确的是( )。

A.$a - (2a - b + 3c) = a - 2a - b + 3c$
B.$x + (-3y - 2x + 5) = x - 3y - 2x + 5$
C.$(a + 1) - (-b + c) = a + 1 + b + c$
D.$-(2m - n) + (m - n) = -2m + n + m + n$

B

2. 已知$x - ( ) = x - y - z$,则括号里的式子是( )。

A.$y - z$
B.$z - y$
C.$-y - z$
D.$y + z$

D

设括号里的式子为$A$，则原式可写为$x - A = x - y - z$。
两边同时减去$x$，得：$-A = -y - z$。
两边同时乘以$-1$，得：$A = y + z$。
D

3. 代数式$3a^2 - b^2与a^2 + b^2$的差是( )。

A.$2a^2$
B.$2a^2 - 2b^2$
C.$4a^2$
D.$4a^2 - 2b^2$

B

$(3a^2 - b^2) - (a^2 + b^2)$
$=3a^2 - b^2 - a^2 - b^2$
$=2a^2 - 2b^2$
B

4. 若$x + y = 2$,$z - y = -3$,则$x + z$的值等于( )。

A.5
B.1
C.-1
D.-5

C

已知$x + y = 2$，$z - y = -3$，将两式相加得：$(x + y) + (z - y) = 2 + (-3)$，化简得$x + z = -1$。
C

5. 某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米,每立方米$a$元；超过部分每立方米$(a + 1.2)$元。则20立方米水应缴水费为( )。

A.$20a$元
B.$(20a + 24)$元
C.$(17a + 3.6)$元
D.$(20a + 3.6)$元

D

20立方米中，前17立方米水费为$17a$元，超过的$20 - 17 = 3$立方米水费为$3(a + 1.2)$元。
总水费为$17a + 3(a + 1.2) = 17a + 3a + 3.6 = 20a + 3.6$元。
D

6. 若$a - b = -3$,$c + d = 2$,则$(b + c) - (a - d)$的值为( )。

A.-1
B.-5
C.5
D.1

C

$(b + c) - (a - d)$
$=b + c - a + d$
$=(b - a) + (c + d)$
$=-(a - b) + (c + d)$
因为$a - b = -3$，$c + d = 2$，所以原式$=-(-3) + 2 = 3 + 2 = 5$
C