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4. 化去分母中的根号：
(1)$ \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} $； (2)$ \dfrac{\sqrt{27}}{2\sqrt{12}} $； (3)$ \dfrac{a}{\sqrt{2a}}(a ＞ 0) $； (4)$ \dfrac{\sqrt{3a}}{\sqrt{2b^3}}(a ≥ 0,b ＞ 0) $。
(1)$ \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} $； (2)$ \dfrac{\sqrt{27}}{2\sqrt{12}} $； (3)$ \dfrac{a}{\sqrt{2a}}(a ＞ 0) $； (4)$ \dfrac{\sqrt{3a}}{\sqrt{2b^3}}(a ≥ 0,b ＞ 0) $。
答案
(1)
$ \begin{aligned}\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}&=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{15}}{\sqrt{15}×\sqrt{15}}\\&=\dfrac{5\sqrt{3}}{15}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
综上，答案是$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{27}}{2\sqrt{12}}&=\dfrac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \\&=\dfrac{3\sqrt{3}×\sqrt{3}}{4\sqrt{3}×\sqrt{3}}\\&=\dfrac{9}{12×( \sqrt{4}×\sqrt{3}中的4开方与分母中的4约分）}\\&=\dfrac{3}{4}\end{aligned}$（或者$\dfrac{\sqrt{27}}{2\sqrt{12}} = \dfrac{\sqrt{3 × 9}}{2\sqrt{4 × 3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \dfrac{3}{4}$）
综上，答案是$\dfrac{3}{4}$。
(3)
$\begin{aligned}\dfrac{a}{\sqrt{2a}}&=\dfrac{a×\sqrt{2a}}{\sqrt{2a}×\sqrt{2a}}\\&=\dfrac{a\sqrt{2a}}{2a} \\&=\dfrac{\sqrt{2a}}{2}\end{aligned}$
综上，答案是$\dfrac{\sqrt{2a}}{2}$。
(4)
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{3a}}{\sqrt{2b^{3}}}&=\dfrac{\sqrt{3a} × \sqrt{2b^{3}}}{2b^{3} × \sqrt{2b^{3}}÷\sqrt{2b^{3}}}\\&=\dfrac{\sqrt{6ab^{3}}}{2b^{3}} \\&=\dfrac{\sqrt{6ab}}{2b^{2}× b÷ b} \\&=\dfrac{\sqrt{6ab}}{2b^{2}}\end{aligned}$
综上，答案是$\dfrac{\sqrt{6ab}}{2b^{2}}$。
$ \begin{aligned}\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}&=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{15}}{\sqrt{15}×\sqrt{15}}\\&=\dfrac{5\sqrt{3}}{15}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
综上，答案是$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{27}}{2\sqrt{12}}&=\dfrac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \\&=\dfrac{3\sqrt{3}×\sqrt{3}}{4\sqrt{3}×\sqrt{3}}\\&=\dfrac{9}{12×( \sqrt{4}×\sqrt{3}中的4开方与分母中的4约分）}\\&=\dfrac{3}{4}\end{aligned}$（或者$\dfrac{\sqrt{27}}{2\sqrt{12}} = \dfrac{\sqrt{3 × 9}}{2\sqrt{4 × 3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \dfrac{3}{4}$）
综上，答案是$\dfrac{3}{4}$。
(3)
$\begin{aligned}\dfrac{a}{\sqrt{2a}}&=\dfrac{a×\sqrt{2a}}{\sqrt{2a}×\sqrt{2a}}\\&=\dfrac{a\sqrt{2a}}{2a} \\&=\dfrac{\sqrt{2a}}{2}\end{aligned}$
综上，答案是$\dfrac{\sqrt{2a}}{2}$。
(4)
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{3a}}{\sqrt{2b^{3}}}&=\dfrac{\sqrt{3a} × \sqrt{2b^{3}}}{2b^{3} × \sqrt{2b^{3}}÷\sqrt{2b^{3}}}\\&=\dfrac{\sqrt{6ab^{3}}}{2b^{3}} \\&=\dfrac{\sqrt{6ab}}{2b^{2}× b÷ b} \\&=\dfrac{\sqrt{6ab}}{2b^{2}}\end{aligned}$
综上，答案是$\dfrac{\sqrt{6ab}}{2b^{2}}$。
5. 已知长方形的面积为 $ 10\sqrt{50} $，长为 $ 5\sqrt{14} $。求长方形的宽。
答案
宽 = 面积 ÷ 长 = $10\sqrt{50} ÷ 5\sqrt{14}$
= $(10÷5) × (\sqrt{50}÷\sqrt{14})$
= $2×\sqrt{\frac{50}{14}}$
= $2×\sqrt{\frac{25}{7}}$
= $2×\frac{5}{\sqrt{7}}$
= $2×\frac{5\sqrt{7}}{7}$
= $\frac{10\sqrt{7}}{7}$
结论：长方形的宽为 $\frac{10\sqrt{7}}{7}$。
= $(10÷5) × (\sqrt{50}÷\sqrt{14})$
= $2×\sqrt{\frac{50}{14}}$
= $2×\sqrt{\frac{25}{7}}$
= $2×\frac{5}{\sqrt{7}}$
= $2×\frac{5\sqrt{7}}{7}$
= $\frac{10\sqrt{7}}{7}$
结论：长方形的宽为 $\frac{10\sqrt{7}}{7}$。
6. 如图，$ E $，$ F $，$ G $，$ H $ 分别是菱形 $ ABCD $ 四边的中点，菱形 $ ABCD $ 的面积为 $ 4\sqrt{3} $，对角线 $ AC = 2\sqrt{6} $。
(1)求菱形 $ ABCD $ 对角线 $ BD $ 的长；
(2)求四边形 $ EFGH $ 的面积。
(1)求菱形 $ ABCD $ 对角线 $ BD $ 的长；
(2)求四边形 $ EFGH $ 的面积。
答案
(1)设菱形$ABCD$对角线$BD$的长为$x$。
因为菱形面积等于对角线乘积的一半，所以$\frac{1}{2} × AC × BD = 4\sqrt{3}$。
已知$AC = 2\sqrt{6}$，则$\frac{1}{2} × 2\sqrt{6} × x = 4\sqrt{3}$，
化简得$\sqrt{6}x = 4\sqrt{3}$，解得$x = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{2}$。
(2)因为$E$，$F$，$G$，$H$是四边中点，所以四边形$EFGH$是矩形，且$EF = \frac{1}{2}AC$，$EH = \frac{1}{2}BD$。
$EF = \frac{1}{2} × 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$，$EH = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$。
四边形$EFGH$面积为$EF × EH = \sqrt{6} × \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$。
(1)$2\sqrt{2}$；(2)$2\sqrt{3}$
因为菱形面积等于对角线乘积的一半，所以$\frac{1}{2} × AC × BD = 4\sqrt{3}$。
已知$AC = 2\sqrt{6}$，则$\frac{1}{2} × 2\sqrt{6} × x = 4\sqrt{3}$，
化简得$\sqrt{6}x = 4\sqrt{3}$，解得$x = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{2}$。
(2)因为$E$，$F$，$G$，$H$是四边中点，所以四边形$EFGH$是矩形，且$EF = \frac{1}{2}AC$，$EH = \frac{1}{2}BD$。
$EF = \frac{1}{2} × 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$，$EH = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$。
四边形$EFGH$面积为$EF × EH = \sqrt{6} × \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$。
(1)$2\sqrt{2}$；(2)$2\sqrt{3}$
7. 观察下列各式的化简过程(其中 $ a ＞ 2 $)：
① $ \dfrac{a - 2}{\sqrt{a - 2}} = \dfrac{(\sqrt{a - 2})^2}{\sqrt{a - 2}} = \sqrt{a - 2} $；
② $ \dfrac{a - 2}{\sqrt{a} - \sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2}{\sqrt{a} - \sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2})}{\sqrt{a} - \sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{2} $；
③ $ \dfrac{a - 4}{\sqrt{a} + 2} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - 2^2}{\sqrt{a} + 2} = \dfrac{(\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} - 2)}{\sqrt{a} + 2} = \sqrt{a} - 2 $。
(1)上述各式化简过程的共同特点是：先将 变形，通过约分，化去 中的根号。
(2)试用上述方法化去下列各式分母中的根号。
① $ \dfrac{2a + 6}{\sqrt{a + 3}} $； ② $ \dfrac{a - 1}{1 + \sqrt{a}} $； ③ $ \dfrac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}(a ＞ 0,b ＞ 0 $ 且 $ a ≠ b) $。
(3)你还有别的方法化去上列各式分母中的根号吗？
① $ \dfrac{a - 2}{\sqrt{a - 2}} = \dfrac{(\sqrt{a - 2})^2}{\sqrt{a - 2}} = \sqrt{a - 2} $；
② $ \dfrac{a - 2}{\sqrt{a} - \sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2}{\sqrt{a} - \sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2})}{\sqrt{a} - \sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{2} $；
③ $ \dfrac{a - 4}{\sqrt{a} + 2} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - 2^2}{\sqrt{a} + 2} = \dfrac{(\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} - 2)}{\sqrt{a} + 2} = \sqrt{a} - 2 $。
(1)上述各式化简过程的共同特点是：先将 变形，通过约分，化去 中的根号。
(2)试用上述方法化去下列各式分母中的根号。
① $ \dfrac{2a + 6}{\sqrt{a + 3}} $； ② $ \dfrac{a - 1}{1 + \sqrt{a}} $； ③ $ \dfrac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}(a ＞ 0,b ＞ 0 $ 且 $ a ≠ b) $。
(3)你还有别的方法化去上列各式分母中的根号吗？
答案
(1)分子；分母
(2)①$\dfrac{2a + 6}{\sqrt{a + 3}} = \dfrac{2(a + 3)}{\sqrt{a + 3}} = \dfrac{2(\sqrt{a + 3})^2}{\sqrt{a + 3}} = 2\sqrt{a + 3}$
②$\dfrac{a - 1}{1 + \sqrt{a}} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - 1^2}{\sqrt{a} + 1} = \dfrac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 1} = \sqrt{a} - 1$
③$\dfrac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
(3)有，可分子分母同乘分母的有理化因式。
①$\dfrac{2a + 6}{\sqrt{a + 3}} = \dfrac{(2a + 6)\sqrt{a + 3}}{\sqrt{a + 3} · \sqrt{a + 3}} = \dfrac{2(a + 3)\sqrt{a + 3}}{a + 3} = 2\sqrt{a + 3}$
②$\dfrac{a - 1}{1 + \sqrt{a}} = \dfrac{(a - 1)(\sqrt{a} - 1)}{(1 + \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)} = \dfrac{(a - 1)(\sqrt{a} - 1)}{a - 1} = \sqrt{a} - 1$
③$\dfrac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \dfrac{(a - b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \dfrac{(a - b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
(2)①$\dfrac{2a + 6}{\sqrt{a + 3}} = \dfrac{2(a + 3)}{\sqrt{a + 3}} = \dfrac{2(\sqrt{a + 3})^2}{\sqrt{a + 3}} = 2\sqrt{a + 3}$
②$\dfrac{a - 1}{1 + \sqrt{a}} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - 1^2}{\sqrt{a} + 1} = \dfrac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 1} = \sqrt{a} - 1$
③$\dfrac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
(3)有，可分子分母同乘分母的有理化因式。
①$\dfrac{2a + 6}{\sqrt{a + 3}} = \dfrac{(2a + 6)\sqrt{a + 3}}{\sqrt{a + 3} · \sqrt{a + 3}} = \dfrac{2(a + 3)\sqrt{a + 3}}{a + 3} = 2\sqrt{a + 3}$
②$\dfrac{a - 1}{1 + \sqrt{a}} = \dfrac{(a - 1)(\sqrt{a} - 1)}{(1 + \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)} = \dfrac{(a - 1)(\sqrt{a} - 1)}{a - 1} = \sqrt{a} - 1$
③$\dfrac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \dfrac{(a - b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \dfrac{(a - b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
