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1. 将一张三角形纸片剪一刀，要求剪得的两部分纸片能拼成一个平行四边形，剪切线的位置应满足什么条件？在将两部分纸片拼成平行四边形时，对其中的一部分进行了怎样的图形运动？
答案
可以沿着两条边的中点连线剪裁;将剪出的小三角形绕着大三角形一边的中点旋转180°
解析
【解析】
要使剪得的两部分纸片能拼成平行四边形，剪切线应是三角形任意两边中点的连线。拼接时，将剪出的小三角形绕着大三角形一边的中点旋转180°，即可与剩余部分拼成平行四边形。
【答案】
剪切线应是三角形任意两边中点的连线；将剪出的小三角形绕着大三角形一边的中点旋转180°
【知识点】
三角形中位线应用、图形旋转变换
【点评】
本题考查三角形与平行四边形的图形转化，结合图形旋转变换的知识，要求具备一定的空间想象能力，有助于深化对图形变换性质的理解与应用。
【难度系数】
0.6
要使剪得的两部分纸片能拼成平行四边形，剪切线应是三角形任意两边中点的连线。拼接时，将剪出的小三角形绕着大三角形一边的中点旋转180°，即可与剩余部分拼成平行四边形。
【答案】
剪切线应是三角形任意两边中点的连线；将剪出的小三角形绕着大三角形一边的中点旋转180°
【知识点】
三角形中位线应用、图形旋转变换
【点评】
本题考查三角形与平行四边形的图形转化，结合图形旋转变换的知识，要求具备一定的空间想象能力，有助于深化对图形变换性质的理解与应用。
【难度系数】
0.6
2. 如图 8-16，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，将△ADE 按逆时针方向旋转180°到△CEF 的位置.
（1）四边形 BCFD 是哪种特殊四边形？为什么？
（2）线段 DE 与边 BC 有怎样的位置关系和数量关系？
（3）三角形的中位线与中线有什么区别？
（1）四边形 BCFD 是哪种特殊四边形？为什么？
（2）线段 DE 与边 BC 有怎样的位置关系和数量关系？
（3）三角形的中位线与中线有什么区别？
答案
(1)四边形BCFD是平行四边形,因为BD//CF，且BD=CF (2)DE//BC,且$DE=\frac{1}{2}BC (3)$三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，不经过三角形的顶点，不平分三角形的面积，三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，不与任何一边平行，等等
解析
【解析】
（1）四边形BCFD是平行四边形。
理由：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴AD=BD。
由△ADE旋转180°得到△CEF，可得AD=CF，∠A=∠ECF，
∴BD=CF，且AB//CF，即$BD// CF$且$BD=CF$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故四边形BCFD是平行四边形。
（2）
∵D，E分别为AB，AC的中点，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$。
（3）三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，不经过三角形的顶点，不平分三角形的面积；三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，不与任何一边平行，平分三角形的面积。
【答案】
（1）四边形BCFD是平行四边形，因为$BD// CF$，且$BD=CF$；
（2）$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$；
（3）三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，不经过三角形的顶点，不平分三角形的面积，三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，不与任何一边平行，平分三角形的面积（合理即可）。
【知识点】
平行四边形的判定、三角形中位线定理、三角形中线与中位线的区别
【点评】
本题综合考查图形旋转的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理以及三角形中线与中位线的区别，需熟练掌握相关判定定理与线段的定义性质，通过图形变换推导边的关系，加深对三角形相关线段的理解。
【难度系数】
0.8
（1）四边形BCFD是平行四边形。
理由：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴AD=BD。
由△ADE旋转180°得到△CEF，可得AD=CF，∠A=∠ECF，
∴BD=CF，且AB//CF，即$BD// CF$且$BD=CF$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故四边形BCFD是平行四边形。
（2）
∵D，E分别为AB，AC的中点，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$。
（3）三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，不经过三角形的顶点，不平分三角形的面积；三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，不与任何一边平行，平分三角形的面积。
【答案】
（1）四边形BCFD是平行四边形，因为$BD// CF$，且$BD=CF$；
（2）$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$；
（3）三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，不经过三角形的顶点，不平分三角形的面积，三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，不与任何一边平行，平分三角形的面积（合理即可）。
【知识点】
平行四边形的判定、三角形中位线定理、三角形中线与中位线的区别
【点评】
本题综合考查图形旋转的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理以及三角形中线与中位线的区别，需熟练掌握相关判定定理与线段的定义性质，通过图形变换推导边的关系，加深对三角形相关线段的理解。
【难度系数】
0.8
活动二：写一写 想一想
1. 顺次连接四边形 ABCD(图 8-17)各边的中点. 观察并猜想得到的四边形的形状，并说明理由.
2. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形是怎样的图形？为什么？如果顺次连接菱形、正方形四边的中点呢？
1. 顺次连接四边形 ABCD(图 8-17)各边的中点. 观察并猜想得到的四边形的形状，并说明理由.
2. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形是怎样的图形？为什么？如果顺次连接菱形、正方形四边的中点呢？
答案
活动二：1. 如图，顺次连接四边形 ABCD 各边的中点 E，F，G，H，连接 AC，可得 EF 是△ABC 的中位线，于是 EF//AC，且 EF=$\frac{1}{2}$AC。同理可得 GH//AC，且 GH=$\frac{1}{2}$AC，所以 EF//GH，且 EF=GH。所以四边形 EFGH 是平行四边形 2. 菱形，因为矩形是对角线相等，于是所得平行四边形的邻边就相等；矩形，正方形
解析
【解析】
1. 顺次连接四边形$ABCD$各边中点$E$、$F$、$G$、$H$，连接$AC$。根据三角形中位线定理，$EF$是$△ ABC$的中位线，因此$EF// AC$，且$EF=\frac{1}{2}AC$；同理，$GH$是$△ ADC$的中位线，$GH// AC$，且$GH=\frac{1}{2}AC$。由此可得$EF// GH$且$EF=GH$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形$EFGH$是平行四边形。
2. 顺次连接矩形四边中点所得四边形是菱形：矩形对角线相等，结合三角形中位线定理，所得四边形的各边均为矩形对角线的一半，邻边相等，故平行四边形为菱形；
顺次连接菱形四边中点所得四边形是矩形：菱形对角线互相垂直，根据三角形中位线定理，所得四边形的邻边分别平行于菱形的对角线，邻边互相垂直，故平行四边形为矩形；
顺次连接正方形四边中点所得四边形是正方形：正方形对角线相等且互相垂直，所得四边形邻边相等且互相垂直，故为正方形。
【答案】
1. 所得四边形是平行四边形，理由见解析；
2. 顺次连接矩形四边中点所得四边形是菱形；顺次连接菱形四边中点所得四边形是矩形；顺次连接正方形四边中点所得四边形是正方形，理由见解析。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形判定，特殊四边形性质
【点评】
本题借助三角形中位线定理，结合不同四边形的对角线特征探究中点四边形的形状，考查了特殊四边形性质与判定的综合运用，需熟练掌握中位线的位置与数量关系，以及不同四边形的对角线特点。
【难度系数】
0.6
1. 顺次连接四边形$ABCD$各边中点$E$、$F$、$G$、$H$，连接$AC$。根据三角形中位线定理，$EF$是$△ ABC$的中位线，因此$EF// AC$，且$EF=\frac{1}{2}AC$；同理，$GH$是$△ ADC$的中位线，$GH// AC$，且$GH=\frac{1}{2}AC$。由此可得$EF// GH$且$EF=GH$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形$EFGH$是平行四边形。
2. 顺次连接矩形四边中点所得四边形是菱形：矩形对角线相等，结合三角形中位线定理，所得四边形的各边均为矩形对角线的一半，邻边相等，故平行四边形为菱形；
顺次连接菱形四边中点所得四边形是矩形：菱形对角线互相垂直，根据三角形中位线定理，所得四边形的邻边分别平行于菱形的对角线，邻边互相垂直，故平行四边形为矩形；
顺次连接正方形四边中点所得四边形是正方形：正方形对角线相等且互相垂直，所得四边形邻边相等且互相垂直，故为正方形。
【答案】
1. 所得四边形是平行四边形，理由见解析；
2. 顺次连接矩形四边中点所得四边形是菱形；顺次连接菱形四边中点所得四边形是矩形；顺次连接正方形四边中点所得四边形是正方形，理由见解析。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形判定，特殊四边形性质
【点评】
本题借助三角形中位线定理，结合不同四边形的对角线特征探究中点四边形的形状，考查了特殊四边形性质与判定的综合运用，需熟练掌握中位线的位置与数量关系，以及不同四边形的对角线特点。
【难度系数】
0.6
1. 在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，已知 DE=5，那么 BC=
10
.答案
10
解析
【解析】
因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半，即$DE = \frac{1}{2}BC$。已知DE=5，所以$BC=2×DE=2×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的直接应用，属于基础题型，需熟练掌握中位线定理的核心内容。
【难度系数】
0.9
因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半，即$DE = \frac{1}{2}BC$。已知DE=5，所以$BC=2×DE=2×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的直接应用，属于基础题型，需熟练掌握中位线定理的核心内容。
【难度系数】
0.9
2. 已知一个三角形的周长为 10，则连接各边中点所得的三角形的周长为
5
.答案
5
解析
【解析】
根据三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半。连接原三角形各边中点所得的三角形的三边均为原三角形的中位线，其周长为原三角形周长的一半。已知原三角形周长为10，因此新三角形周长为10÷2=5。
【答案】
5
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的基础应用，关键在于理解中位线与原三角形边的长度关系，属于简单基础题。
【难度系数】
0.8
根据三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半。连接原三角形各边中点所得的三角形的三边均为原三角形的中位线，其周长为原三角形周长的一半。已知原三角形周长为10，因此新三角形周长为10÷2=5。
【答案】
5
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的基础应用，关键在于理解中位线与原三角形边的长度关系，属于简单基础题。
【难度系数】
0.8
