3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，延长 BC 到点 F，使CF=$\frac{1}{2}BC$. 若 AB=10，则 EF 的长是.

5

【解析】
连接CD。
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC。
又
∵CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=CF，DE//CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴EF=CD。
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=10，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴EF=5。
【答案】
5
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题通过构造平行四边形将EF转化为CD，利用相关几何定理实现线段的等量转化，考查了对几何定理的综合运用能力，解题关键是找准线段间的等量关系完成转化。
【难度系数】
0.6

4. 如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点.
(1)请判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由；
(2)要使四边形 EFGH 为正方形，四边形 ABCD 的对角线应具有怎样的性质？

(1)连接AC,可得$EF//AC,EF=\frac{1}{2}AC,HG//AC,HG=\frac{1}{2}AC,$从而EF//HG,EF=HG,故四边形EFGH是平行四边形　(2)互相垂直且相等

【解析】
(1)连接AC。
因为E，F分别是AB，BC的中点，根据三角形中位线定理，可得$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理，H，G分别是AD，CD的中点，可得$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$。
所以$EF// HG$，$EF=HG$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形EFGH是平行四边形。
(2)要使平行四边形EFGH为正方形，需要它的邻边垂直且相等。
由三角形中位线定理可知，$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$，结合(1)中$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$，因此当四边形ABCD的对角线互相垂直且相等时，四边形EFGH为正方形。
【答案】
(1)四边形EFGH是平行四边形，理由见解析；
(2)互相垂直且相等。
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定、正方形的判定
【点评】
本题考查中点四边形的性质，核心是利用三角形中位线定理推导中点四边形的形状，理解原四边形对角线性质与中点四边形形状的关联是解题关键。
【难度系数】
0.7

1. 如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接其四边中点所得的四边形是()

A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.以上都不对

B

【解析】
根据三角形中位线定理，顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形。当原四边形的对角线相等时，该平行四边形的一组邻边分别为两条对角线的一半，长度相等，因此这个平行四边形是菱形。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，中点四边形性质
【点评】
本题考查中点四边形的判定，核心是利用三角形中位线定理建立中点四边形的边与原四边形对角线的联系，进而根据对角线特征确定中点四边形的形状。
【难度系数】
0.6

2. 以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为 8，则原三角形的周长为.

16

【解析】
根据三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半。以原三角形各边中点为顶点的三角形的三边均为原三角形的中位线，因此新三角形的周长是原三角形周长的一半。已知新三角形周长为8，所以原三角形周长为8×2=16。
【答案】
16
【知识点】
三角形中位线性质
【点评】
本题主要考查三角形中位线性质的理解与简单应用，属于基础题型，解题关键是明确中位线与原三角形边的长度关系。
【难度系数】
0.8

3. 如图，D，E，F 分别是△ABC 各边的中点.

(1)如果 EF=4，那么 BC=；
如果 AB=10，那么 DF=.
(2)中线 AD 与中位线 EF 的关系是.

(1)8　5　(2)互相平分

【解析】
(1) 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF是△ABC的中位线，故$BC=2EF=2×4=8$；
因为D，F分别是BC，AC的中点，所以DF是△ABC的中位线，故$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
(2) 连接ED，因为E，D，F分别是AB，BC，AC的中点，所以$ED// AC$，$ED=\frac{1}{2}AC=AF$，则四边形AEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，故中线AD与中位线EF互相平分。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{5}$
(2) $\boldsymbol{互相平分}$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理的应用以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握中位线定理是解题关键。
【难度系数】
0.7

4. 如图，E，F 分别是 AB，AC 的中点，延长 EF 交∠ACD 的平分线于点 G. AG 与 CG 有怎样的位置关系？说明理由.

AG⊥CG,理由略

【解析】
AG⊥CG，理由如下：
1. 因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得$EF// BC$，因此$∠FGC=∠GCD$。
2. 因为CG平分$∠ACD$，所以$∠FCG=∠GCD$，结合上步结论可得$∠FGC=∠FCG$，所以$FC=FG$。
3. 又因为F是AC的中点，所以$AF=FC$，因此$AF=FG$，所以$∠FAG=∠FGA$。
4. 在$△ AGC$中，根据三角形内角和定理，$∠FAG+∠FGA+∠FCG+∠FGC=180°$，即$2(∠FGA+∠FGC)=180°$，所以$∠AGC=∠FGA+∠FGC=90°$，故$AG⊥CG$。
【答案】
$AG⊥CG$
【知识点】
三角形中位线定理，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查三角形相关性质的应用，需灵活运用中位线、角平分线及内角和知识推导边角关系，进而判定垂直关系，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，M，N 分别是 AD，BC 的中点，延长 BA，NM，CD 分别相交于点 E，F. 求证：∠BEN=∠NFC.

连接BD，取BD的中点O,连接OM、ON,由OM是△ABD的中位线，得OM//BE,∠BEN=∠OMN.同理可得ON//CD,∠NFC=∠ONM.∵$OM=\frac{1}{2}AB,ON=\frac{1}{2}CD,AB=CD,$∴OM=ON,∠OMN=∠ONM.∴∠BEN=∠NFC

【解析】
连接BD，取BD的中点O，连接OM、ON。
∵M是AD的中点，O是BD的中点，
∴OM是△ABD的中位线，
∴$OM// BE$，$∠ BEN=∠ OMN$，且$OM=\frac{1}{2}AB$。
同理，N是BC的中点，O是BD的中点，
∴ON是△BCD的中位线，
∴$ON// CD$，$∠ NFC=∠ ONM$，且$ON=\frac{1}{2}CD$。
∵$AB=CD$，
∴$OM=ON$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ OMN=∠ ONM$，
∴$∠ BEN=∠ NFC$。
【答案】
$\boldsymbol{∠ BEN=∠ NFC}$得证
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形性质，平行线的性质
【点评】
本题通过构造三角形中位线，将待证的角转化为等腰三角形的底角，利用中位线的平行与长度特性，结合等腰三角形的角的性质完成证明，体现了转化思想在几何证明中的应用。
【难度系数】
0.6