8. 【跨学科】“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的两句诗,由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”问题。
(1)如图①,若点 $ A $ 和点 $ B $ 分别在直线 $ l $ 的两侧,请作出示意图,在直线 $ l $ 上找到点 $ C $,使得 $ CA + CB $ 的值最小,并说明作图依据:
(2)如图②,若点 $ A $ 和点 $ B $ 在直线 $ l $ 的同侧,请在直线 $ l $ 上作出点 $ P $,使得 $ PA + PB $ 的值最小;
(3)如图③,已知 $ ∠ AOB = 30^{\circ} $,点 $ Q $ 在 $ ∠ AOB $ 内部,$ OQ = 6 $,在射线 $ OA $ 和 $ OB $ 上分别确定点 $ M $,$ N $,使 $ △ QMN $ 的周长最小,并求出周长的最小值。

(1)如图①,若点 $ A $ 和点 $ B $ 分别在直线 $ l $ 的两侧,请作出示意图,在直线 $ l $ 上找到点 $ C $,使得 $ CA + CB $ 的值最小,并说明作图依据:
两点之间,线段最短。
;(2)如图②,若点 $ A $ 和点 $ B $ 在直线 $ l $ 的同侧,请在直线 $ l $ 上作出点 $ P $,使得 $ PA + PB $ 的值最小;
(3)如图③,已知 $ ∠ AOB = 30^{\circ} $,点 $ Q $ 在 $ ∠ AOB $ 内部,$ OQ = 6 $,在射线 $ OA $ 和 $ OB $ 上分别确定点 $ M $,$ N $,使 $ △ QMN $ 的周长最小,并求出周长的最小值。
答案
8. 解:(1)两点之间,线段最短。图略。
(2)如图①,点 P 即所求。
(3)如图②。
作点 Q 关于 OA 的对称点 C,
作点 Q 关于 OB 的对称点 D,
连接 CD,分别交 OA 于点 M,交 OB 于点 N,此时 $△ QMN$ 的周长最小,连接 OC,OD。
因为点 C 和点 Q 关于 OA 对称,
所以 $OC = OQ = 6$,$∠ MOC = ∠ MOQ$。
同理可得,$OD = OQ = 6$,$∠ QON = ∠ DON$。
所以 $OC = OD$,$∠ MOC + ∠ MOQ + ∠ QON + ∠ DON = 2∠ QOM + 2∠ QON = 2(∠ QOM + ∠ QON) = 2∠ AOB = 60^{\circ}$。又 $OC = OD$,所以 $∠ OCD = ∠ ODC = 60^{\circ}$,
所以 $△ COD$ 为等边三角形,所以 $CD = 6$。
故 $△ QMN$ 的最小周长 $= QM + MN + QN = CM + MN + DN = CD = 6$。
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