1. 如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的。

不稳定性

伸缩晾衣架的结构中，四边形的边长不变，但形状可以改变，这是利用了四边形不具有稳定性的几何原理。

2. 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线为。

AC，BD

根据四边形对角线的定义，连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。在四边形ABCD中，不相邻的顶点对为A与C、B与D，所以对角线是AC和BD。

3. 若一个多边形的内角和与外角和相等，则该多边形的边数为。

【解析】：设多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$，而任何多边形的外角和都为$360^{\circ}$。
已知该多边形内角和与外角和相等，则可得方程$(n - 2) × 180^{\circ}=360^{\circ}$，
两边同时除以$180^{\circ}$得：$n - 2 = 2$，
解得$n = 4$。
【答案】：4（题目中是填空题，按照答案规范应填数字，所以答案填4对应的（这里假设以文字边数答案对应填空，按题要求填数字）数字形式）即【答案】：4

4. 如图，$E$，$F$ 分别是四边形 $ABCD$ 的边 $AD$，$BC$ 上的点，连接 $EF$，将四边形 $ABFE$ 沿直线 $EF$ 折叠。若点 $A$，$B$ 都落在四边形 $ABCD$ 的内部，记 $∠ C+∠ D=α$，则 $∠ 1+∠ 2=$(用含 $α$ 的式子表示)。

360°-2α

在四边形ABCD中，内角和为360°，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°，已知∠C+∠D=α，故∠A+∠B=360°-α。
折叠后，∠A=∠A'，∠B=∠B'，且∠AEF=∠A'EF=x，∠BFE=∠B'FE=y。
在四边形A'B'FE中，内角和为360°，则∠A'+∠B'+∠A'EF+∠B'FE=360°，即∠A+∠B+x+y=360°，代入∠A+∠B=360°-α，得x+y=α。
在直线AD上，∠AEF+∠A'EF+∠2=180°，即2x+∠2=180°，故∠2=180°-2x；同理，在直线BC上，∠BFE+∠B'FE+∠1=180°，即2y+∠1=180°，故∠1=180°-2y。
因此，∠1+∠2=（180°-2y）+（180°-2x）=360°-2(x+y)=360°-2α。

5. 如图，求图中 $x$ 的值。

解：该图形为四边形，根据四边形内角和定理，四边形内角和为$(4-2)×180^{\circ}=360^{\circ}$。
已知其中三个角分别为$140^{\circ}$、$90^{\circ}$（直角）、$x^{\circ}$、$x^{\circ}$，则：
$140 + 90 + x + x = 360$
$230 + 2x = 360$
$2x = 130$
$x = 65$
答：$x$的值为$65$。

6. 提升题 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ ABC+∠ ADC=180^{\circ}$，$BD$ 平分 $∠ ADC$。
(1)$∠ A+∠ C=$；
(2)求证 $AB=BC$。

(1)
在四边形 $ABCD$ 中，根据四边形内角和为 $360^{\circ}$，即$∠ A+∠ C + ∠ ABC+∠ ADC=360^{\circ}$，
已知$∠ ABC + ∠ ADC = 180^{\circ}$，
所以$∠ A+∠ C=360^{\circ}-(∠ ABC + ∠ ADC)=180^{\circ}$。
故答案为 $180^{\circ}$。
(2)
证明：
因为$BD$平分$∠ ADC$，
所以$∠ ADB=∠ CDB$。
过点$B$分别作$BE ⊥ AD$的延长线于点$E$，作$BF ⊥ DC$于点$F$。
因为$∠ E = ∠ BFD = 90^{\circ}$，$∠ ADB=∠ CDB$，$BD = BD$，
所以$△ BED≌△ BFD(AAS)$，
所以$BE = BF$。
因为$∠ ABC+∠ ADC = 180^{\circ}$，$∠ ADC+∠ EDF = 180^{\circ}$，
所以$∠ ABC=∠ EDF$。
又因为$∠ E = ∠ CFB = 90^{\circ}$，$BE = BF$，
所以$△ ABE≌△ CBF(AAS)$，
所以$AB = BC$。