1. 下列各组数中，方程 $2x - y = 3$ 和 $3x + 4y = 10$ 的公共解是()

A.$\begin{cases}x = 1,\\y = -1\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 3,\\y = \dfrac{1}{4}\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 4,\\y = 5\end{cases}$

C

将选项A代入方程$2x - y = 3$，左边$=2×1 - (-1)=3$，右边$=3$，左边=右边；代入$3x + 4y = 10$，左边$=3×1 + 4×(-1)=-1$，右边$=10$，左边≠右边，故A不是公共解。
将选项B代入方程$2x - y = 3$，左边$=2×3 - \dfrac{1}{4}=\dfrac{23}{4}$，右边$=3$，左边≠右边，故B不是公共解。
将选项C代入方程$2x - y = 3$，左边$=2×2 - 1=3$，右边$=3$，左边=右边；代入$3x + 4y = 10$，左边$=3×2 + 4×1=10$，右边$=10$，左边=右边，故C是公共解。
将选项D代入方程$2x - y = 3$，左边$=2×4 - 5=3$，右边$=3$，左边=右边；代入$3x + 4y = 10$，左边$=3×4 + 4×5=32$，右边$=10$，左边≠右边，故D不是公共解。

2. 如果二元一次方程 $ax + by + 2 = 0$ 有两个解 $\begin{cases}x = 1,\\y = -1\end{cases}$ 与 $\begin{cases}x = 2,\\y = 2,\end{cases}$ 那么下面四个选项中仍是这个方程的解的是( )

A.$\begin{cases}x = 3,\\y = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 5,\\y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 6,\\y = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 4,\\y = 4\end{cases}$

A

将已知的两个解代入方程 $ax + by + 2 = 0$，得到方程组：
$\begin{cases}a - b + 2 = 0, \\2a + 2b + 2 = 0.\end{cases}$
化简为：
$\begin{cases}a - b = -2, \quad (1) \\2a + 2b = -2. \quad (2)\end{cases}$
由方程(2)可得 $a + b = -1$（两边同时除以2），
将方程(1) $a - b = -2$ 与 $a + b = -1$ 相加，得到：
$2a = -3 \implies a = -\frac{3}{2}$，
将 $a = -\frac{3}{2}$ 代入 $a + b = -1$，得到：
$-\frac{3}{2} + b = -1 \implies b = \frac{1}{2}$，
因此，原方程为：
$-\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}y + 2 = 0$，
两边同时乘以 -2，得到：
$3x - y - 4 = 0$，
接下来，将选项中的解代入方程 $3x - y - 4 = 0$ 进行验证：
A. $x = 3, y = 5$：
$3 × 3 - 5 - 4 = 9 - 5 - 4 = 0$，满足方程。
B. $x = 5, y = 3$：
$3 × 5 - 3 - 4 = 15 - 3 - 4 = 8 ≠ 0$，不满足方程。
C. $x = 6, y = 2$：
$3 × 6 - 2 - 4 = 18 - 2 - 4 = 12 ≠ 0$，不满足方程。
D. $x = 4, y = 4$：
$3 × 4 - 4 - 4 = 12 - 4 - 4 = 4 ≠ 0$，不满足方程。
由此可见，只有选项 A 满足方程。

3. 若关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x - y = 5k + 6,\\4x + 7y = k\end{cases}$ 的解满足 $x + y = 2025$，则 $k$ 的值为( )

A.2022
B.2023
C.2024
D.2025

C

解方程组$\begin{cases}2x - y = 5k + 6 \\4x + 7y = k\end{cases}$，
将①×2得：$4x - 2y = 10k + 12$③，
② - ③得：$9y = -9k - 12$，解得$y = -k - \frac{4}{3}$，
将$y = -k - \frac{4}{3}$代入①得：$2x - (-k - \frac{4}{3}) = 5k + 6$，解得$x = 2k + \frac{7}{3}$，
由$x + y = 2025$，得$(2k + \frac{7}{3}) + (-k - \frac{4}{3}) = 2025$，
化简得$k + 1 = 2025$，解得$k = 2024$。

4. 如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，每个果冻的质量为()


A.$50\ \mathrm{g}$
B.$45\ \mathrm{g}$
C.$40\ \mathrm{g}$
D.$30\ \mathrm{g}$

B

设每块巧克力质量为$x\ \mathrm{g}$，每个果冻质量为$y\ \mathrm{g}$。由左图得$3x = 2y$，由右图得$x + y = 75$。联立方程$\begin{cases}3x = 2y \\ x + y = 75\end{cases}$，解得$y = 45$。

5. 若 $x$，$y$ 满足方程组 $\begin{cases}4x - y = 3,\\3x - 2y = -1,\end{cases}$ 则 $x + y =$ ______ .

$\begin{cases}4x - y = 3, & (1) \\3x - 2y = -1.& (2)\end{cases}$
由$(1)×2$得：
$8x-2y=6\quad(3)$，
$(3)-(2)$得：
$5x=7$，
$x=\frac{7}{5}$，
将$x=\frac{7}{5}$代入$(1)$得：
$4×\frac{7}{5}-y=3$，
$\frac{28}{5}-y=3$，
$y=\frac{13}{5}$，
所以$x+y=\frac{7}{5}+\frac{13}{5}=4$。
故答案为$4$。

6. 已知 $|3x - y - 9| + (4y - x + 14)^2 = 0$，则 $x - y =$.

根据题意，有$|3x - y - 9| + (4y - x + 14)^2 = 0$。
由于绝对值和平方都是非负数，它们的和为0意味着两者都必须为0。
因此，得到以下方程组：
$\begin{cases}3x - y - 9 = 0 \quad (1) \\4y - x + 14 = 0 \quad (2)\end{cases}$
从方程(1)中，可以得到：
$y = 3x - 9 \quad (3)$
将方程(3)代入方程(2)中，得到：
$4(3x - 9) - x + 14 = 0$
$12x - 36 - x + 14 = 0$
$11x = 22$
$x = 2$
将 $x = 2$ 代入方程(3)中，得到：
$y = 3 × 2 - 9 = -3$
所以，$x - y = 2 - (-3) = 5$。
故答案为：$5$。

7. 小林、小军和小明三人玩投掷飞镖游戏，每人各投 5 支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，小明的得分是分.

设内圈得分为$x$，外圈得分为$y$。
由题意，小林投5支镖，设内圈命中$a$支，外圈命中$5-a$支，得分$ax+(5-a)y=21$；小军内圈命中$b$支，外圈命中$5-b$支，得分$bx+(5-b)y=17$。
根据常见飞镖中靶情况，假设小林内圈3支、外圈2支，小军内圈1支、外圈4支，可得方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 21 \\x + 4y = 17\end{cases}$
解方程组：
由第一个方程乘2得$6x + 4y = 42$，减去第二个方程：$5x = 25$，解得$x = 5$。
代入$x + 4y = 17$，得$5 + 4y = 17$，解得$y = 3$。
小明投5支镖，假设内圈2支、外圈3支，得分：$2x + 3y = 2×5 + 3×3 = 10 + 9 = 19$。
19

8. 李师傅加工 1 个甲种零件和 1 个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工 3 个甲种零件和 5 个乙种零件共需 $85\ \mathrm{min}$；加工 4 个甲种零件和 9 个乙种零件共需 $125\ \mathrm{min}$，则李师傅加工 8 个甲种零件和 16 个乙种零件共需$\mathrm{min}$.

设加工1个甲种零件需$x\ \mathrm{min}$，加工1个乙种零件需$y\ \mathrm{min}$。
根据题意，得$\begin{cases}3x + 5y = 85 \\ 4x + 9y = 125\end{cases}$
由$3x + 5y = 85$，得$12x + 20y = 340$（方程两边乘4）；
由$4x + 9y = 125$，得$12x + 27y = 375$（方程两边乘3）；
两式相减：$(12x + 27y)-(12x + 20y)=375 - 340$，即$7y = 35$，解得$y = 5$。
将$y = 5$代入$3x + 5y = 85$，得$3x + 25 = 85$，$3x = 60$，解得$x = 20$。
则$8x + 16y = 8×20 + 16×5 = 160 + 80 = 240$。
240