【例 1】如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 上的点，且 AE = BF = CG = DH。
(1)求证：四边形 EFGH 是矩形。
(2)若 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点，且 DG⊥AC，OF = 2 cm，求矩形 ABCD 的面积。

例1　解:(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴OA=OB=OC=OD。
　
∵AE=BF=CG=DH,
　
∴AO−AE=OB−BF=CO−CG=DO−DH,
　　即OE=OF=OG=OH,
　
∴四边形EFGH是矩形。
　　(2)
∵G是OC的中点，
　
∴GO=GC。
　
∵DG⊥AC,
　
∴∠DGO=∠DGC=90°。
　　又
∵DG=DG,
　
∴△DGC≌△DGO(SAS),
　
∴CD=OD。
　
∵F是BO的中点,OF=2cm,
　
∴BO=4cm。
　
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴DO=BO=4cm,
　
∴DC=4cm,DB=8cm,
　
∴CB= $\sqrt{DB^{2}-DC^{2}}$=4$\sqrt{3}$cm,
　
∴矩形ABCD的面积=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$(cm²)。

【例 2】如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，BE = 2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF = BE，连结 CF。
(1)求证：四边形 BCFE 是菱形。

(2)若 CE = 6，BC = 5，求菱形 BCFE 的面积。

例2　解:(1)证明:
∵D,E分别是AB,AC的中点，
　
∴DE//BC,BC=2DE。
　
∵BE=2DE,
　
∴BC=BE。
　
∵EF=BE,
　
∴EF=BC,且EF//BC,
　
∴四边形BCFE是平行四边形。
　
∵BC=BE,
　
∴四边形BCFE是菱形。
　(2)如图,连结BF交CE于点L。
　
∵四边形BCFE是菱形,CE=6,BC=5,
　　
　
∴CE⊥BF,CL=EL=$\frac{1}{2}$CE =3,BL=FL,
　
∴∠BLC=90°,
　
∴BL= $\sqrt{BC^{2}-CL^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4,
　
∴BF=2BL=8,
　
∴S菱形BCFE=$\frac{1}{2}$BF·CE=$\frac{1}{2}$×8×6=24,
　
∴菱形BCFE的面积为24。

【例 3】如图，已知四边形 ABCD 为正方形，点 E 在 AD 上，∠ABE = 22.5°，点 A 与点 P 关于 BE 对称，连结 CP。
(1)求∠BCP 的度数。
(2)连结 DP，若 DP = 1，求 CD 的长。

例3　解:(1)连结BP,AP,如图1。
　
∵点A与点P关于BE对称,
　
∴BA=BP,∠EBP=∠ABE =22.5°。
　
∵四边形ABCD为正方形,
　
∴BC=BA,∠ABC=90°,
　
∴BC=BP,∠CBP=90°−∠ABE −∠PBE=45°,
　
∴∠BCP=$\frac{180°−∠CBP}{2}$=$\frac{180°−45°}{2}$=67.5°。
　　
　　(2)连结BD,过点P作PF⊥PD交CD于点F,如图2。
　
∵四边形ABCD为正方形,
　
∴∠BCD=90°,CD=BC,∠ABD =$\frac{1}{2}$∠ABC=45°=∠ABP,
　
∴点B,P,D三点共线,
　
∴∠PDF=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°,
　
∴∠PFD=90°−∠PDF=45°=∠PDF,
　
∴PD=PF=1,
　
∴FD= $\sqrt{DP^{2}+FP^{2}}$=$\sqrt{2}$。
　
∵∠BCP=67.5°,
　
∴∠PCD=90°−∠BCP=22.5°,
　
∴∠CPF=∠PFD−∠PCF=22.5°=∠PCD,
　
∴CF=PF=1。
　
∴CD=DF+FC=$\sqrt{2}$+1。