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【例1】计算：$\frac{2a - 4}{a^2 - 4a + 4} + \frac{a + 2}{a^2 - 4}$。
答案
解:原式=$\frac{2(a - 2)}{(a - 2)^2}+\frac{a + 2}{(a - 2)(a + 2)}$
=$\frac{2}{a - 2}+\frac{1}{a - 2}$
=$\frac{3}{a - 2}$。
=$\frac{2}{a - 2}+\frac{1}{a - 2}$
=$\frac{3}{a - 2}$。
解析
【分析】
这是一道分式加法运算题，解题思路如下：首先观察两个分式的分子和分母，发现它们都可进行因式分解，先通过因式分解将分式化为最简形式；接着看约分后的分式分母是否相同，若相同则直接将分子相加、分母不变，最终得到最简结果。具体来说，第一个分式分子可提取公因式2，分母是完全平方形式，第二个分式分母是平方差形式，先分解因式后约分，再进行同分母分式的加法运算。
【解析】
解:原式=$\frac{2(a - 2)}{(a - 2)^2}+\frac{a + 2}{(a - 2)(a + 2)}$
=$\frac{2}{a - 2}+\frac{1}{a - 2}$
=$\frac{3}{a - 2}$
【答案】
$\frac{3}{a - 2}$
【知识点】
分式的约分、分式加法运算、因式分解
【点评】
本题主要考查分式的化简运算，核心是利用提公因式法、公式法对分子分母进行因式分解，再约分得到最简分式，最后完成同分母分式的加法运算。解题时需注意分式有意义的条件：$a≠2$且$a≠-2$，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
这是一道分式加法运算题，解题思路如下：首先观察两个分式的分子和分母，发现它们都可进行因式分解，先通过因式分解将分式化为最简形式；接着看约分后的分式分母是否相同，若相同则直接将分子相加、分母不变，最终得到最简结果。具体来说，第一个分式分子可提取公因式2，分母是完全平方形式，第二个分式分母是平方差形式，先分解因式后约分，再进行同分母分式的加法运算。
【解析】
解:原式=$\frac{2(a - 2)}{(a - 2)^2}+\frac{a + 2}{(a - 2)(a + 2)}$
=$\frac{2}{a - 2}+\frac{1}{a - 2}$
=$\frac{3}{a - 2}$
【答案】
$\frac{3}{a - 2}$
【知识点】
分式的约分、分式加法运算、因式分解
【点评】
本题主要考查分式的化简运算，核心是利用提公因式法、公式法对分子分母进行因式分解，再约分得到最简分式，最后完成同分母分式的加法运算。解题时需注意分式有意义的条件：$a≠2$且$a≠-2$，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
【例2】化简：$\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{1 + x^4}$。
答案
解:原式=$\frac{1 + x + 1 - x}{1 - x^2}+\frac{2}{1 + x^2}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{2}{1 - x^2}+\frac{2}{1 + x^2}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{2(1 + x^2 + 1 - x^2)}{1 - x^4}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{4}{1 - x^4}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{4(1 + x^4 + 1 - x^4)}{1 - x^8}$
=$\frac{8}{1 - x^8}$。
=$\frac{2}{1 - x^2}+\frac{2}{1 + x^2}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{2(1 + x^2 + 1 - x^2)}{1 - x^4}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{4}{1 - x^4}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{4(1 + x^4 + 1 - x^4)}{1 - x^8}$
=$\frac{8}{1 - x^8}$。
解析
【分析】
本题是分式加减化简题，若直接对四个分式同时通分，分母会是多个因式的乘积，计算量极大。因此我们可以采用逐步通分的思路：先将前两个分母互为平方差的分式通分相加，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$简化通分后的分母；再将所得结果与第三个分式通分相加，再次利用平方差公式简化分母；最后将新的结果与第四个分式通分相加，逐步化简，降低计算难度。
【解析】
原式=$\frac{1 + x + 1 - x}{1 - x^2}+\frac{2}{1 + x^2}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{2}{1 - x^2}+\frac{2}{1 + x^2}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{2(1 + x^2 + 1 - x^2)}{1 - x^4}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{4}{1 - x^4}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{4(1 + x^4 + 1 - x^4)}{1 - x^8}$
=$\frac{8}{1 - x^8}$
【答案】
$\frac{8}{1 - x^8}$
【知识点】
分式加减运算、平方差公式、分式通分
【点评】
本题重点考查分式化简的技巧，通过逐步通分结合平方差公式，有效简化了运算过程，避免了一次性通分带来的复杂计算。既巩固了分式通分与加减运算的基础知识点，又培养了学生灵活运用公式、分步处理复杂问题的思维能力。
【难度系数】
0.6
本题是分式加减化简题，若直接对四个分式同时通分，分母会是多个因式的乘积，计算量极大。因此我们可以采用逐步通分的思路：先将前两个分母互为平方差的分式通分相加，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$简化通分后的分母；再将所得结果与第三个分式通分相加，再次利用平方差公式简化分母；最后将新的结果与第四个分式通分相加，逐步化简，降低计算难度。
【解析】
原式=$\frac{1 + x + 1 - x}{1 - x^2}+\frac{2}{1 + x^2}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{2}{1 - x^2}+\frac{2}{1 + x^2}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{2(1 + x^2 + 1 - x^2)}{1 - x^4}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{4}{1 - x^4}+\frac{4}{1 + x^4}$
=$\frac{4(1 + x^4 + 1 - x^4)}{1 - x^8}$
=$\frac{8}{1 - x^8}$
【答案】
$\frac{8}{1 - x^8}$
【知识点】
分式加减运算、平方差公式、分式通分
【点评】
本题重点考查分式化简的技巧，通过逐步通分结合平方差公式，有效简化了运算过程，避免了一次性通分带来的复杂计算。既巩固了分式通分与加减运算的基础知识点，又培养了学生灵活运用公式、分步处理复杂问题的思维能力。
【难度系数】
0.6
【例3】先化简，再求值：$(\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{4x}{x^2 - 4}) · (x^2 - 4)$，其中$x = - 3$。小玲做题时把“$x = - 3$”错抄成了“$x = 3$”，但她的计算结果也是正确的，这是为什么？
答案
解:原式=$\frac{x - 2}{x + 2}·(x^2 - 4)+\frac{4x}{x^2 - 4}·(x^2 - 4)$
=$(x - 2)^2 + 4x = x^2 + 4$。
当$x = - 3$时,原式=$(-3)^2 + 4 = 13$;
当$x = 3$时,原式=$3^2 + 4 = 13$。
所以小玲的计算结果也是正确的。
=$(x - 2)^2 + 4x = x^2 + 4$。
当$x = - 3$时,原式=$(-3)^2 + 4 = 13$;
当$x = 3$时,原式=$3^2 + 4 = 13$。
所以小玲的计算结果也是正确的。
解析
【分析】
首先，我们需要完成先化简再求值的任务，同时解释抄错$x$值结果仍正确的原因。解题思路如下：
1. 观察原式结构，括号外的$x^2 - 4$可分解为$(x+2)(x-2)$，恰好是括号内两个分式的公分母，因此利用乘法分配律将括号内的每一项分别与$x^2 - 4$相乘，能通过约分快速简化计算。
2. 对展开后的式子进行整式运算，合并同类项得到最简形式后，观察式子的特征：最简式是$x^2 + 4$，其中$x$的次数是偶数，根据偶次幂的性质，互为相反数的两个数的偶次幂相等，因此$x=3$和$x=-3$代入后结果一致，这就解释了小玲抄错$x$值但结果正确的原因。
【解析】
$\begin{aligned}&(\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{4x}{x^2 - 4}) · (x^2 - 4)\\=&\frac{x - 2}{x + 2}·(x^2 - 4)+\frac{4x}{x^2 - 4}·(x^2 - 4)\\=&(x - 2)^2 + 4x\\=&x^2 - 4x + 4 + 4x\\=&x^2 + 4\end{aligned}$
当$x = - 3$时，原式$=(-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$；
当$x = 3$时，原式$=3^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。
所以小玲把“$x = - 3$”错抄成“$x = 3$”，计算结果也是正确的。
【答案】
化简结果为$x^2 + 4$，当$x=-3$或$x=3$时，原式的值均为13，因此抄错$x$的值计算结果仍正确。
【知识点】
分式化简求值、乘法分配律、偶次幂的性质
【点评】
本题重点考查分式的化简求值运算，核心是灵活运用乘法分配律简化分式运算，避免直接通分的繁琐步骤。同时通过分析化简后整式的特征，结合偶次幂的性质，解释了代入互为相反数的$x$值结果一致的原因，培养学生对代数式特征的观察与分析能力。
【难度系数】
0.7
首先，我们需要完成先化简再求值的任务，同时解释抄错$x$值结果仍正确的原因。解题思路如下：
1. 观察原式结构，括号外的$x^2 - 4$可分解为$(x+2)(x-2)$，恰好是括号内两个分式的公分母，因此利用乘法分配律将括号内的每一项分别与$x^2 - 4$相乘，能通过约分快速简化计算。
2. 对展开后的式子进行整式运算，合并同类项得到最简形式后，观察式子的特征：最简式是$x^2 + 4$，其中$x$的次数是偶数，根据偶次幂的性质，互为相反数的两个数的偶次幂相等，因此$x=3$和$x=-3$代入后结果一致，这就解释了小玲抄错$x$值但结果正确的原因。
【解析】
$\begin{aligned}&(\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{4x}{x^2 - 4}) · (x^2 - 4)\\=&\frac{x - 2}{x + 2}·(x^2 - 4)+\frac{4x}{x^2 - 4}·(x^2 - 4)\\=&(x - 2)^2 + 4x\\=&x^2 - 4x + 4 + 4x\\=&x^2 + 4\end{aligned}$
当$x = - 3$时，原式$=(-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$；
当$x = 3$时，原式$=3^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。
所以小玲把“$x = - 3$”错抄成“$x = 3$”，计算结果也是正确的。
【答案】
化简结果为$x^2 + 4$，当$x=-3$或$x=3$时，原式的值均为13，因此抄错$x$的值计算结果仍正确。
【知识点】
分式化简求值、乘法分配律、偶次幂的性质
【点评】
本题重点考查分式的化简求值运算，核心是灵活运用乘法分配律简化分式运算，避免直接通分的繁琐步骤。同时通过分析化简后整式的特征，结合偶次幂的性质，解释了代入互为相反数的$x$值结果一致的原因，培养学生对代数式特征的观察与分析能力。
【难度系数】
0.7
【例4】化简：$(a + \frac{1}{a})(a - \frac{1}{a}) · (a^2 + \frac{1}{a^2})(a^4 + \frac{1}{a^4}) · \frac{1}{a^{16} - 1}$。
答案
解:原式=$(a^2 - \frac{1}{a^2})(a^2 + \frac{1}{a^2})(a^4 + \frac{1}{a^4})·\frac{1}{a^{16} - 1}$
=$(a^4 - \frac{1}{a^4})(a^4 + \frac{1}{a^4})·\frac{1}{a^{16} - 1} = (a^8 - \frac{1}{a^8})·\frac{1}{a^{16} - 1}$
=$\frac{a^{16} - 1}{a^8}·\frac{1}{a^{16} - 1} = \frac{1}{a^8}$。
=$(a^4 - \frac{1}{a^4})(a^4 + \frac{1}{a^4})·\frac{1}{a^{16} - 1} = (a^8 - \frac{1}{a^8})·\frac{1}{a^{16} - 1}$
=$\frac{a^{16} - 1}{a^8}·\frac{1}{a^{16} - 1} = \frac{1}{a^8}$。
解析
【分析】
这道题是分式化简题，解题核心是反复运用平方差公式逐步简化式子。首先观察到前两个因式$(a + \frac{1}{a})$和$(a - \frac{1}{a})$符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，先计算这两个因式的乘积得到$(a^2 - \frac{1}{a^2})$；接着这个结果与下一个因式$(a^2 + \frac{1}{a^2})$再次运用平方差公式，得到$(a^4 - \frac{1}{a^4})$；再将该结果与$(a^4 + \frac{1}{a^4})$用平方差公式计算，得到$(a^8 - \frac{1}{a^8})$；之后把这个分式通分，转化为分子是整式的形式$\frac{a^{16}-1}{a^8}$，最后与$\frac{1}{a^{16}-1}$相乘，通过约分即可得到最简结果。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a^2 - \frac{1}{a^2})(a^2 + \frac{1}{a^2})(a^4 + \frac{1}{a^4})·\frac{1}{a^{16} - 1}\\&=(a^4 - \frac{1}{a^4})(a^4 + \frac{1}{a^4})·\frac{1}{a^{16} - 1}\\&=(a^8 - \frac{1}{a^8})·\frac{1}{a^{16} - 1}\\&=\frac{a^{16} - 1}{a^8}·\frac{1}{a^{16} - 1}\\&=\frac{1}{a^8}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{a^8}$
【知识点】
平方差公式，分式化简，分式通分
【点评】
本题重点考查平方差公式的多次运用及分式的化简运算，解题时需注意每一步平方差公式应用后的指数变化，通分过程中要准确计算分子的整式形式，约分时要确保分子分母的公因式完全约去，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
这道题是分式化简题，解题核心是反复运用平方差公式逐步简化式子。首先观察到前两个因式$(a + \frac{1}{a})$和$(a - \frac{1}{a})$符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，先计算这两个因式的乘积得到$(a^2 - \frac{1}{a^2})$；接着这个结果与下一个因式$(a^2 + \frac{1}{a^2})$再次运用平方差公式，得到$(a^4 - \frac{1}{a^4})$；再将该结果与$(a^4 + \frac{1}{a^4})$用平方差公式计算，得到$(a^8 - \frac{1}{a^8})$；之后把这个分式通分，转化为分子是整式的形式$\frac{a^{16}-1}{a^8}$，最后与$\frac{1}{a^{16}-1}$相乘，通过约分即可得到最简结果。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a^2 - \frac{1}{a^2})(a^2 + \frac{1}{a^2})(a^4 + \frac{1}{a^4})·\frac{1}{a^{16} - 1}\\&=(a^4 - \frac{1}{a^4})(a^4 + \frac{1}{a^4})·\frac{1}{a^{16} - 1}\\&=(a^8 - \frac{1}{a^8})·\frac{1}{a^{16} - 1}\\&=\frac{a^{16} - 1}{a^8}·\frac{1}{a^{16} - 1}\\&=\frac{1}{a^8}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{a^8}$
【知识点】
平方差公式，分式化简，分式通分
【点评】
本题重点考查平方差公式的多次运用及分式的化简运算，解题时需注意每一步平方差公式应用后的指数变化，通分过程中要准确计算分子的整式形式，约分时要确保分子分母的公因式完全约去，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
