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1. 计算$(-x)^{2}· x^{3}$所得的结果是()
A.$x^{5}$
B.$-x^{5}$
C.$x^{6}$
D.$-x^{6}$
A.$x^{5}$
B.$-x^{5}$
C.$x^{6}$
D.$-x^{6}$
答案
A
解析
1. 根据积的乘方法则计算$(-x)^2$：$(-x)^2=(-1)^2·x^2=x^2$；
2. 根据同底数幂的乘法法则计算：$x^2·x^3=x^{2+3}=x^5$。
2. 根据同底数幂的乘法法则计算：$x^2·x^3=x^{2+3}=x^5$。
2. 计算$a^{5}· (-a)^{4}-(-a^{3})^{3}$的结果等于()
A.$0$
B.$2a^{9}$
C.$-2a^{9}$
D.$a^{18}$
A.$0$
B.$2a^{9}$
C.$-2a^{9}$
D.$a^{18}$
答案
B
解析
1. 计算第一项：$(-a)^4=a^4$，则$a^5·(-a)^4=a^5·a^4=a^{5+4}=a^9$；
2. 计算第二项：$(-a^3)^3=-a^{3×3}=-a^9$，则$-(-a^3)^3=-(-a^9)=a^9$；
3. 合并两项：$a^9+a^9=2a^9$。
2. 计算第二项：$(-a^3)^3=-a^{3×3}=-a^9$，则$-(-a^3)^3=-(-a^9)=a^9$；
3. 合并两项：$a^9+a^9=2a^9$。
3. 下列两个多项式相乘，可用平方差公式()
A.$(a - b)(b - a)$
B.$(a - b - c)(-a + b + c)$
C.$(a + b)(-a - b)$
D.$(-a + b)(a + b)$
A.$(a - b)(b - a)$
B.$(a - b - c)(-a + b + c)$
C.$(a + b)(-a - b)$
D.$(-a + b)(a + b)$
答案
D
解析
平方差公式的形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(a - b)(b - a)=-(a - b)^2$，是完全平方形式，不符合；
选项B：$(a - b - c)(-a + b + c)=-(a - b - c)^2$，是完全平方形式，不符合；
选项C：$(a + b)(-a - b)=-(a + b)^2$，是完全平方形式，不符合；
选项D：$(-a + b)(a + b)=(b - a)(b + a)=b^2 - a^2$，符合平方差公式的形式。
选项A：$(a - b)(b - a)=-(a - b)^2$，是完全平方形式，不符合；
选项B：$(a - b - c)(-a + b + c)=-(a - b - c)^2$，是完全平方形式，不符合；
选项C：$(a + b)(-a - b)=-(a + b)^2$，是完全平方形式，不符合；
选项D：$(-a + b)(a + b)=(b - a)(b + a)=b^2 - a^2$，符合平方差公式的形式。
4. 设$(5a + 3b)^{2}=(5a - 3b)^{2}+A$，则$A =$()
A.$30ab$
B.$60ab$
C.$15ab$
D.$12ab$
A.$30ab$
B.$60ab$
C.$15ab$
D.$12ab$
答案
B
解析
根据完全平方公式展开计算：
1. 由题意得 $ A=(5a+3b)^2-(5a-3b)^2 $
2. 利用完全平方公式展开：
$ (5a+3b)^2=25a^2+30ab+9b^2 $
$ (5a-3b)^2=25a^2-30ab+9b^2 $
3. 代入化简：
$ A=(25a^2+30ab+9b^2)-(25a^2-30ab+9b^2)=60ab $
1. 由题意得 $ A=(5a+3b)^2-(5a-3b)^2 $
2. 利用完全平方公式展开：
$ (5a+3b)^2=25a^2+30ab+9b^2 $
$ (5a-3b)^2=25a^2-30ab+9b^2 $
3. 代入化简：
$ A=(25a^2+30ab+9b^2)-(25a^2-30ab+9b^2)=60ab $
5. 计算$(a - b)(a + b)(a^{2}+b^{2})(a^{4}-b^{4})$的结果是()
A.$a^{8}+2a^{4}b^{4}+b^{8}$
B.$a^{8}-2a^{4}b^{4}+b^{8}$
C.$a^{8}+b^{8}$
D.$a^{8}-b^{8}$
A.$a^{8}+2a^{4}b^{4}+b^{8}$
B.$a^{8}-2a^{4}b^{4}+b^{8}$
C.$a^{8}+b^{8}$
D.$a^{8}-b^{8}$
答案
B
解析
1. 利用平方差公式计算前两项：$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，原式转化为$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 - b^4)$；
2. 再次利用平方差公式计算：$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4$，原式转化为$(a^4 - b^4)(a^4 - b^4) = (a^4 - b^4)^2$；
3. 利用完全平方公式展开：$(a^4 - b^4)^2 = a^8 - 2a^4b^4 + b^8$。
2. 再次利用平方差公式计算：$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4$，原式转化为$(a^4 - b^4)(a^4 - b^4) = (a^4 - b^4)^2$；
3. 利用完全平方公式展开：$(a^4 - b^4)^2 = a^8 - 2a^4b^4 + b^8$。
6. 化简：$y^{3}· (y^{3})^{2}-2· (y^{3})^{3}=$.
答案
$-y^9$
解析
1. 根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，计算得$(y^3)^2=y^{3×2}=y^6$，$(y^3)^3=y^{3×3}=y^9$；
2. 根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，计算得$y^3·y^6=y^{3+6}=y^9$；
3. 代入原式计算：$y^9 - 2·y^9 = -y^9$。
2. 根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，计算得$y^3·y^6=y^{3+6}=y^9$；
3. 代入原式计算：$y^9 - 2·y^9 = -y^9$。
7. 若$2^{x}=5$，$2^{y}=3$，则$2^{x + y}=$.
答案
15
解析
根据同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得$2^{x+y}=2^x · 2^y$。将$2^x=5$，$2^y=3$代入，得$2^{x+y}=5×3=15$。
8. 解方程：$(x + 3)(x - 2)-(x + 1)^{2}=-1$.
答案
解：
$(x + 3)(x - 2)-(x + 1)^{2}=-1$
$x^2 - 2x + 3x - 6 - (x^2 + 2x + 1) = -1$
$x^2 + x - 6 - x^2 - 2x - 1 = -1$
$-x - 7 = -1$
$-x = 6$
$x = -6$
$(x + 3)(x - 2)-(x + 1)^{2}=-1$
$x^2 - 2x + 3x - 6 - (x^2 + 2x + 1) = -1$
$x^2 + x - 6 - x^2 - 2x - 1 = -1$
$-x - 7 = -1$
$-x = 6$
$x = -6$
9. 已知$x + y = 5$，且$x - y = 1$，求$xy$与$x^{2}+y^{2}$的值.
答案
解：
∵ $ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $，$ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $
已知 $ x + y = 5 $，$ x - y = 1 $，
∴ $ (x + y)^2 = 5^2 = 25 $，即 $ x^2 + 2xy + y^2 = 25 $ ①
$ (x - y)^2 = 1^2 = 1 $，即 $ x^2 - 2xy + y^2 = 1 $ ②
① - ②，得：
$ 4xy = 25 - 1 $
$ 4xy = 24 $
$ xy = 6 $
① + ②，得：
$ 2(x^2 + y^2) = 25 + 1 $
$ 2(x^2 + y^2) = 26 $
$ x^2 + y^2 = 13 $
综上，$ xy = 6 $，$ x^2 + y^2 = 13 $。
∵ $ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $，$ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $
已知 $ x + y = 5 $，$ x - y = 1 $，
∴ $ (x + y)^2 = 5^2 = 25 $，即 $ x^2 + 2xy + y^2 = 25 $ ①
$ (x - y)^2 = 1^2 = 1 $，即 $ x^2 - 2xy + y^2 = 1 $ ②
① - ②，得：
$ 4xy = 25 - 1 $
$ 4xy = 24 $
$ xy = 6 $
① + ②，得：
$ 2(x^2 + y^2) = 25 + 1 $
$ 2(x^2 + y^2) = 26 $
$ x^2 + y^2 = 13 $
综上，$ xy = 6 $，$ x^2 + y^2 = 13 $。
