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【例 3】如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ AB = 6\ \mathrm{cm} $，$ AD = 10\ \mathrm{cm} $，点 $ P $ 在 $ AD $ 边上以 $ 1\ \mathrm{cm} $ 每秒的速度从点 $ A $ 向点 $ D $ 运动，点 $ Q $ 在 $ BC $ 边上以 $ 2.5\ \mathrm{cm} $ 每秒的速度从点 $ C $ 出发，在 $ CB $ 间往返运动，两个点同时出发，当点 $ P $ 到达点 $ D $ 时停止运动，同时点 $ Q $ 也停止运动. 设运动时间为 $ t\ \mathrm{s}(t ＞ 0) $，开始运动以后，当 $ t $ 为何值时，以 $ P $，$ D $，$ Q $，$ B $ 为顶点的四边形是平行四边形？
解：
【规律方法】
解决平行四边形中的动点问题的基本思路是变“动”为“静”，用“静”理解“动”. 一般方法是先利用动点需要满足的条件构造方程或方程组，再通过解方程或方程组求出动点需要满足的条件.
解：
【规律方法】
解决平行四边形中的动点问题的基本思路是变“动”为“静”，用“静”理解“动”. 一般方法是先利用动点需要满足的条件构造方程或方程组，再通过解方程或方程组求出动点需要满足的条件.
答案
解:当t=$\frac{40}{7}$时,以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形.
解析
【解析】
要使以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，需满足$PD // BQ$且$PD = BQ$。
已知点P的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$AP = t$，$PD = AD - AP = 10 - t$。
点Q的运动速度为$2.5\ \mathrm{cm/s}$，点P到达D的时间为$\frac{10}{1}=10\ \mathrm{s}$，故$0 ＜ t ≤ 10$，分情况讨论：
1. 当$0 ＜ t ≤ 4$时，Q从C向B运动，$CQ = 2.5t$，$BQ = 10 - 2.5t$，令$10 - t = 10 - 2.5t$，解得$t=0$，不符合$t＞0$，舍去；
2. 当$4 ＜ t ≤ 8$时，Q从B向C运动，$BQ = 2.5(t - 4) = 2.5t - 10$，令$10 - t = 2.5t - 10$，解得$t = \frac{40}{7}$，符合范围；
3. 当$8 ＜ t ≤ 10$时，Q从C向B运动，$BQ = 10 - 2.5(t - 8) = 30 - 2.5t$，令$10 - t = 30 - 2.5t$，解得$t = \frac{40}{3} ＞ 10$，不符合范围，舍去。
综上，当$t = \frac{40}{7}$时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形。
【答案】
$\boldsymbol{t=\frac{40}{7}}$
【知识点】
平行四边形的性质；动点问题分类讨论
【点评】
本题考查平行四边形的性质与动点问题的结合，解题关键是根据动点的运动阶段进行分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质建立方程求解，注意舍去不符合条件的解。
【难度系数】
0.4
要使以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，需满足$PD // BQ$且$PD = BQ$。
已知点P的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$AP = t$，$PD = AD - AP = 10 - t$。
点Q的运动速度为$2.5\ \mathrm{cm/s}$，点P到达D的时间为$\frac{10}{1}=10\ \mathrm{s}$，故$0 ＜ t ≤ 10$，分情况讨论：
1. 当$0 ＜ t ≤ 4$时，Q从C向B运动，$CQ = 2.5t$，$BQ = 10 - 2.5t$，令$10 - t = 10 - 2.5t$，解得$t=0$，不符合$t＞0$，舍去；
2. 当$4 ＜ t ≤ 8$时，Q从B向C运动，$BQ = 2.5(t - 4) = 2.5t - 10$，令$10 - t = 2.5t - 10$，解得$t = \frac{40}{7}$，符合范围；
3. 当$8 ＜ t ≤ 10$时，Q从C向B运动，$BQ = 10 - 2.5(t - 8) = 30 - 2.5t$，令$10 - t = 30 - 2.5t$，解得$t = \frac{40}{3} ＞ 10$，不符合范围，舍去。
综上，当$t = \frac{40}{7}$时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形。
【答案】
$\boldsymbol{t=\frac{40}{7}}$
【知识点】
平行四边形的性质；动点问题分类讨论
【点评】
本题考查平行四边形的性质与动点问题的结合，解题关键是根据动点的运动阶段进行分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质建立方程求解，注意舍去不符合条件的解。
【难度系数】
0.4
4. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，$ BD ⊥ CD $，$ AB = 6\ \mathrm{cm} $，$ BC = 10\ \mathrm{cm} $. 点 $ E $ 从点 $ D $ 出发沿 $ DA $ 方向以 $ 2\ \mathrm{cm/s} $ 的速度匀速运动，到点 $ A $ 时停止运动，连接 $ EO $，延长 $ EO $ 交 $ BC $ 于点 $ F $. 设运动时间为 $ t\ \mathrm{s} $.
（1）当 $ t $ 为何值时，四边形 $ EDCF $ 是平行四边形？
（2）当 $ t = 3 $ 时，求四边形 $ EFCD $ 的面积.
（1）当 $ t $ 为何值时，四边形 $ EDCF $ 是平行四边形？
（2）当 $ t = 3 $ 时，求四边形 $ EFCD $ 的面积.
答案
4.解:(1)当t=2.5时,四边形EDCF是平行四边形.
$(2)S_{四边形EFCD}=24cm².$
$(2)S_{四边形EFCD}=24cm².$
解析
【解析】
（1）
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AD// BC$，$OD=OB$，$∠ EDO=∠ FBO$
又
∵$∠ DOE=∠ BOF$
∴$△ DOE≌△ BOF$（ASA）
∴$DE=BF$
要使四边形$EDCF$是平行四边形，需$DE// FC$且$DE=FC$
∵$AD// BC$，即$DE// FC$，故只需$DE=FC$
已知$DE=2t$，$FC=BC - BF=10 - 2t$
∴$2t=10 - 2t$
解得$t=2.5$
即当$t=2.5$时，四边形$EDCF$是平行四边形。
（2）
∵$BD⊥ CD$，$CD=AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=10\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2 - CD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8\ \mathrm{cm}$
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× BD=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm}^2$
当$t=3$时，$DE=2×3=6\ \mathrm{cm}$
由（1）知$△ DOE≌△ BOF$，故$BF=DE=6\ \mathrm{cm}$，$FC=BC - BF=10 - 6=4\ \mathrm{cm}$
∵$AD// BC$，$△ DOE≌△ BOF$
∴$S_{△ DOE}=S_{△ BOF}$
∴$S_{\mathrm{四边形}EFCD}=S_{△ BCD}=24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
（1）$\boldsymbol{t=2.5}$；（2）$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形全等判定
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质与判定，结合勾股定理、三角形全等求解，需熟练掌握平行四边形的相关性质，灵活运用全等三角形转化线段与面积关系。
【难度系数】
0.6
（1）
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AD// BC$，$OD=OB$，$∠ EDO=∠ FBO$
又
∵$∠ DOE=∠ BOF$
∴$△ DOE≌△ BOF$（ASA）
∴$DE=BF$
要使四边形$EDCF$是平行四边形，需$DE// FC$且$DE=FC$
∵$AD// BC$，即$DE// FC$，故只需$DE=FC$
已知$DE=2t$，$FC=BC - BF=10 - 2t$
∴$2t=10 - 2t$
解得$t=2.5$
即当$t=2.5$时，四边形$EDCF$是平行四边形。
（2）
∵$BD⊥ CD$，$CD=AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=10\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2 - CD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8\ \mathrm{cm}$
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× BD=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm}^2$
当$t=3$时，$DE=2×3=6\ \mathrm{cm}$
由（1）知$△ DOE≌△ BOF$，故$BF=DE=6\ \mathrm{cm}$，$FC=BC - BF=10 - 6=4\ \mathrm{cm}$
∵$AD// BC$，$△ DOE≌△ BOF$
∴$S_{△ DOE}=S_{△ BOF}$
∴$S_{\mathrm{四边形}EFCD}=S_{△ BCD}=24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
（1）$\boldsymbol{t=2.5}$；（2）$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形全等判定
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质与判定，结合勾股定理、三角形全等求解，需熟练掌握平行四边形的相关性质，灵活运用全等三角形转化线段与面积关系。
【难度系数】
0.6
